Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1208
2016-10-20 
Капля ртути на чистой горизонтальной поверхности стекла и капля воды на ворсистой поверхности травинки подобны друг другу по форме. Оцените отношение масс этих капель. Плотности ртути и воды равны $\rho_{р} = 13,6 г/см^{3}$ и $\rho_{в} = 1 г/см^{3}$ соответственно, а их коэффициенты поверхностного натяжения $\sigma_{р} = 0,46 Н/м$ и $\sigma_{в} = 0,07 Н/м$.
Решение:
Введём какой-нибудь характерный размер капли, по которому можно полностью определить её размеры, если известна форма капли. Например, выберем в качестве такого размера «высоту» капли $H$.
Форма капли заданного объёма $V$, который пропорционален $H^{3}$, определяется условием минимума суммарной потенциальной энергии капли, которая складывается из энергии $E_{1}$, связанной с наличием поверхностного натяжения жидкости, и энергии $E_{2}$, связанной с наличием поля силы тяжести: $E_{1} \sim \sigma H^{2}, E_{2} \sim \rho g H^{4}$.
Одна из составляющих суммарной энергии пропорциональна $V/H$, а другая — произведению $V \cdot H$. Отношение этих составляющих $E_{1} / E_{2}$ для капель одинаковой формы, должно быть одинаково, поскольку именно соотношением этих энергий и определяется форма капли. Поэтому должно выполняться следующее соотношение: $ \frac{ \sigma_{в} H_{в}^{2}}{ \rho_{в}g H_{в}^{4}} = \frac{ \sigma_{р} H_{р}^{2}}{ \rho_{р}g H_{р}^{4}}$. Отсюда следует, что $\frac{H_{р}^{2}}{H_{в}^{2}} = \frac{ \sigma_{р} \rho_{в}}{ \sigma_{в} \rho_{р}}$. Отношение масс капли ртути и капли воды, таким образом, равно
$\frac{M_{}}{M_{}} = \frac{ \rho_{}H_{}^{3}}{ \rho_{}H_{}^{3}} = \frac{ \rho_{}}{ \rho_{}} \cdot \left ( \frac{ \sigma_{} \rho_{}}{ \sigma_{} \rho_{}} \right )^{3/2} = \left ( \frac{ \rho_{}}{ \rho_{}} \right )^{1/2} \cdot \left ( \frac{ \sigma_{}}{ \sigma_{}} \right )^{3/2} = \left ( \frac{1}{13,6} \right )^{1/2} \cdot \left ( \frac{0,46}{0,07} \right )^{3/2} \approx 0,271 \cdot 16,85 \approx 4,6$.
Капля ртути на чистой горизонтальной поверхности стекла и капля воды на ворсистой поверхности травинки подобны друг другу по форме. Оцените отношение масс этих капель. Плотности ртути и воды равны $\rho_{р} = 13,6 г/см^{3}$ и $\rho_{в} = 1 г/см^{3}$ соответственно, а их коэффициенты поверхностного натяжения $\sigma_{р} = 0,46 Н/м$ и $\sigma_{в} = 0,07 Н/м$.
Решение:
Введём какой-нибудь характерный размер капли, по которому можно полностью определить её размеры, если известна форма капли. Например, выберем в качестве такого размера «высоту» капли $H$.
Форма капли заданного объёма $V$, который пропорционален $H^{3}$, определяется условием минимума суммарной потенциальной энергии капли, которая складывается из энергии $E_{1}$, связанной с наличием поверхностного натяжения жидкости, и энергии $E_{2}$, связанной с наличием поля силы тяжести: $E_{1} \sim \sigma H^{2}, E_{2} \sim \rho g H^{4}$.
Одна из составляющих суммарной энергии пропорциональна $V/H$, а другая — произведению $V \cdot H$. Отношение этих составляющих $E_{1} / E_{2}$ для капель одинаковой формы, должно быть одинаково, поскольку именно соотношением этих энергий и определяется форма капли. Поэтому должно выполняться следующее соотношение: $ \frac{ \sigma_{в} H_{в}^{2}}{ \rho_{в}g H_{в}^{4}} = \frac{ \sigma_{р} H_{р}^{2}}{ \rho_{р}g H_{р}^{4}}$. Отсюда следует, что $\frac{H_{р}^{2}}{H_{в}^{2}} = \frac{ \sigma_{р} \rho_{в}}{ \sigma_{в} \rho_{р}}$. Отношение масс капли ртути и капли воды, таким образом, равно
$\frac{M_{}}{M_{}} = \frac{ \rho_{}H_{}^{3}}{ \rho_{}H_{}^{3}} = \frac{ \rho_{}}{ \rho_{}} \cdot \left ( \frac{ \sigma_{} \rho_{}}{ \sigma_{} \rho_{}} \right )^{3/2} = \left ( \frac{ \rho_{}}{ \rho_{}} \right )^{1/2} \cdot \left ( \frac{ \sigma_{}}{ \sigma_{}} \right )^{3/2} = \left ( \frac{1}{13,6} \right )^{1/2} \cdot \left ( \frac{0,46}{0,07} \right )^{3/2} \approx 0,271 \cdot 16,85 \approx 4,6$.
