Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12074
2019-12-17 
Половина сферического конденсатора заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ (рис.). Найти отношение плотностей зарядов на верхней и нижние половинах конденсатора и его емкость.
Решение:
В диэлектрике напряженность электрического поля ослабляется в $\epsilon$ раз. Поэтому при одной и той же плотности зарядов напряженность поля в нижней половине конденсатора была бы в $\epsilon$ раз меньше, чем в верхней.
В то же время обкладки сферического конденсатора эквипотенциальны, поскольку они представляют собой проводящие поверхности. Следовательно, между любыми двумя точками, принадлежащими разным сферам, разность потенциалов должна быть одна и та же. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы плотность зарядов на нижней половине конденсатора была в $\epsilon$ раз больше, чем на верхней. При этом электрическое поле во всем конденсаторе будет таким же, как в конденсаторе без диэлектрика но с одинаковой плотностью заряда на верхней и нижней половинах.
Теперь найдем емкость конденсатора. Для этого надо знать заряд конденсатора и разность потенциалов между его обкладками. Обозначим через $\sigma$ плотность заряда на верхней половине конденсатора, а через $S$ - площадь поверхности внутренней сферы. Тогда заряд конденсатора
$q = \frac{ \sigma S}{2} + \frac{ \epsilon \sigma S}{2}$.
Как мы уже говорили, электрическое поле внутри данного конденсатора такое же, как в конденсаторе без диэлектрика, но с одинаковой плотностью заряда $\sigma$, то есть с равномерно распределенным зарядом
$q^{ \prime} = \sigma S$.
Следовательно, разность потенциалов между обкладками
$\Delta \phi = \frac{q^{ \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}r } - \frac{q^{ \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{ \sigma S}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{R - r}{rR}$.
Разделив $q$ на $\Delta q$, найдем емкость конденсатора $C$:
$C = \frac{q}{ \Delta \phi} = \frac{(1 + \epsilon ) \frac{ \sigma S}{2} }{ \frac{ \sigma S}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{R - r}{rR} } = \frac{2 \pi \epsilon_{0} (1 + \epsilon ) rR }{R - r}$.
Половина сферического конденсатора заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ (рис.). Найти отношение плотностей зарядов на верхней и нижние половинах конденсатора и его емкость.
Решение:
В диэлектрике напряженность электрического поля ослабляется в $\epsilon$ раз. Поэтому при одной и той же плотности зарядов напряженность поля в нижней половине конденсатора была бы в $\epsilon$ раз меньше, чем в верхней.
В то же время обкладки сферического конденсатора эквипотенциальны, поскольку они представляют собой проводящие поверхности. Следовательно, между любыми двумя точками, принадлежащими разным сферам, разность потенциалов должна быть одна и та же. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы плотность зарядов на нижней половине конденсатора была в $\epsilon$ раз больше, чем на верхней. При этом электрическое поле во всем конденсаторе будет таким же, как в конденсаторе без диэлектрика но с одинаковой плотностью заряда на верхней и нижней половинах.
Теперь найдем емкость конденсатора. Для этого надо знать заряд конденсатора и разность потенциалов между его обкладками. Обозначим через $\sigma$ плотность заряда на верхней половине конденсатора, а через $S$ - площадь поверхности внутренней сферы. Тогда заряд конденсатора
$q = \frac{ \sigma S}{2} + \frac{ \epsilon \sigma S}{2}$.
Как мы уже говорили, электрическое поле внутри данного конденсатора такое же, как в конденсаторе без диэлектрика, но с одинаковой плотностью заряда $\sigma$, то есть с равномерно распределенным зарядом
$q^{ \prime} = \sigma S$.
Следовательно, разность потенциалов между обкладками
$\Delta \phi = \frac{q^{ \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}r } - \frac{q^{ \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{ \sigma S}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{R - r}{rR}$.
Разделив $q$ на $\Delta q$, найдем емкость конденсатора $C$:
$C = \frac{q}{ \Delta \phi} = \frac{(1 + \epsilon ) \frac{ \sigma S}{2} }{ \frac{ \sigma S}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{R - r}{rR} } = \frac{2 \pi \epsilon_{0} (1 + \epsilon ) rR }{R - r}$.
