Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12072
2019-12-17 
В некоторой Галактике обнаружена система планет, аналогичная нашей Солнечной системе. Средние плотности планет и Солнца в этой системе в $n_{1} = 2$ раза меньше средних плотностей планет и Солнца в нашей системе, а все линейные размеры - в $n_{2} = 3$ раза меньше соответствующих размеров в нашей системе. Сколько земных суток длится год на обнаруженном аналоге Земли?
Решение:
Запишем уравнение движения планеты массы $m$ (аналога Земли) вокруг своего Солнца массы $M$:
$\gamma \frac{mM}{L^{2} } = m \omega^{2}L$,
где $L$ - радиус орбиты планеты, $\omega$ - угловая скорость вращения планеты. Отсюда
$\omega = \sqrt{ \gamma \frac{M}{L^{3} } }$.
Выразим массу Солнца через его радиус $R$ и плотность $\rho$. Получим
$M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$, и $\omega = \sqrt{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho \frac{R^{3} }{L^{3} } }$.
Аналогичное выражение можно записать для угловой скорости $\omega_{0}$ вращения Земли вокруг Солнца в нашей системе:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho_{0} \frac{R_{0}^{3} }{L_{0}^{3} } }$.
Найдем отношение угловых скоростей обращения аналога Земли и самой Земли:
$\frac{ \omega }{ \omega_{0} } = \sqrt{ \frac{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho \left ( \frac{R}{L} \right )^{3} }{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho_{0} \left ( \frac{R_{0} }{L_{0} } \right )^{3} } } = \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} } \left ( \frac{R}{R_{0} } \right )^{3} \left ( \frac{L_{0} }{L} \right )^{3} } = \sqrt{ \frac{1}{n_{1} } \left ( \frac{1}{n_{2} } \right )^{3} (n_{2} )^{3} } = \sqrt{ \frac{1}{n_{1} } }$.
Следовательно,
$\omega = \sqrt{ \frac{1}{n_{1} } } \omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \omega_{0}$
- угловая скорость движения аналога Земли в $\sqrt{2}$ раза меньше угловой скорости движения самой Земли. Поэтому на аналоге Земли год длится $\frac{365}{ \sqrt{2} } \approx 260$ земных суток.
В некоторой Галактике обнаружена система планет, аналогичная нашей Солнечной системе. Средние плотности планет и Солнца в этой системе в $n_{1} = 2$ раза меньше средних плотностей планет и Солнца в нашей системе, а все линейные размеры - в $n_{2} = 3$ раза меньше соответствующих размеров в нашей системе. Сколько земных суток длится год на обнаруженном аналоге Земли?
Решение:
Запишем уравнение движения планеты массы $m$ (аналога Земли) вокруг своего Солнца массы $M$:
$\gamma \frac{mM}{L^{2} } = m \omega^{2}L$,
где $L$ - радиус орбиты планеты, $\omega$ - угловая скорость вращения планеты. Отсюда
$\omega = \sqrt{ \gamma \frac{M}{L^{3} } }$.
Выразим массу Солнца через его радиус $R$ и плотность $\rho$. Получим
$M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$, и $\omega = \sqrt{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho \frac{R^{3} }{L^{3} } }$.
Аналогичное выражение можно записать для угловой скорости $\omega_{0}$ вращения Земли вокруг Солнца в нашей системе:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho_{0} \frac{R_{0}^{3} }{L_{0}^{3} } }$.
Найдем отношение угловых скоростей обращения аналога Земли и самой Земли:
$\frac{ \omega }{ \omega_{0} } = \sqrt{ \frac{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho \left ( \frac{R}{L} \right )^{3} }{ \frac{4}{3} \gamma \pi \rho_{0} \left ( \frac{R_{0} }{L_{0} } \right )^{3} } } = \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} } \left ( \frac{R}{R_{0} } \right )^{3} \left ( \frac{L_{0} }{L} \right )^{3} } = \sqrt{ \frac{1}{n_{1} } \left ( \frac{1}{n_{2} } \right )^{3} (n_{2} )^{3} } = \sqrt{ \frac{1}{n_{1} } }$.
Следовательно,
$\omega = \sqrt{ \frac{1}{n_{1} } } \omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \omega_{0}$
- угловая скорость движения аналога Земли в $\sqrt{2}$ раза меньше угловой скорости движения самой Земли. Поэтому на аналоге Земли год длится $\frac{365}{ \sqrt{2} } \approx 260$ земных суток.
