ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-12-17   
Коэффициент жесткости резинового жгута длины $l$ и массы $m$ равен $k$. Кольцо, изготовленное из этого жгута, вращается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Определить радиус $R$ вращающегося кольца.


Решение:



Обозначим через $L$ длину вращающегося кольца ($L = 2 \pi R$). Рассмотрим небольшой участок кольца длиной $\Delta L$. Его масса

$\Delta m = \frac{m}{L} \Delta L$.

На выделенный участок на его концах действуют две силы натяжения $\vec{T}$, направленные по касательным к кольцу (рис.). Их равнодействующая $\vec{F}$ направлена по радиусу к центру кольца и сообщает рассматриваемому участку центростремительное ускорение $| \vec{a} | = \omega^{2} R$. Из рисунка

$| \vec{F} | = 2| \vec{T} | \sin \frac{ \alpha}{2}$.

Запишем уравнение движения выделенного участка:

$| \vec{F} | = | \vec{a}| \Delta m$,

или

$2| \vec{T} | \sin \frac{ \alpha}{2} = \omega^{2}R \frac{m \Delta L}{L}$.

Поскольку

$| \vec{T}| = k (L - l)$,
$L = 2 \pi R$

и при малых углах

$\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \Delta L}{2R}$,

получаем

$k(2 \pi R - l) \frac{ \Delta L}{R} = \frac{ \omega^{2}m }{2 \pi} \Delta L$.

Отсюда

$R = \frac{l}{2 \pi} \frac{1}{1 - \frac{ \omega^{2} m }{4 \pi^{2}k } }$.