Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12065
2019-12-17 
Одним U-образным ртутным манометром можно измерять давление до 1 атм. Какое наибольшее давление можно измерить, если соединить последовательно два таких манометра короткой трубкой?
Решение:
U-образный ртутный манометр (рис.) измеряет избыточное давление $\Delta p$, т. е. показывает, насколько давление $p$ в левом колене манометра больше атмосферного давления $p_{0}$. Ограничение на измеряемое давление накладывается длиной трубок манометра: нельзя измерить избыточное давление больше такого, при котором ртуть доходит до края правого колена. Иначе манометр выйдет из строя. Отсюда ясно, что
$\Delta p = p - p_{0} = \rho | \vec{g} | H = 1 атм$.
Пусть атмосферное давление тоже равно 1 атм. Тогда
$\rho | \vec{g}|H = p_{0}$.
При последовательном соединении двух манометров (рис.) давление $p_{1}$ в левом колене манометра 1 будет больше давления $p$ в случае одного манометра. В самом деле, давление $p_{2}$ в левом колене манометра 2 не равно атмосферному, а больше его на величину давления столба ртути высотой $h$. Таким образом,
$p_{1} = \rho | \vec{g} | H + p_{2} = p_{0} + p_{2}$. (1)
и
$p_{2} = p_{0} + \rho | \vec{g} | h$. (2)
С другой стороны, $p_{2}$ - это давление сжатою воздуха, занимающего объем $S \left ( \frac{H}{2} + \frac{h}{2} \right )$ ($S$ - площадь сечения трубок). Первоначально этот воздух занимал объем $\frac{SH}{2}$ в правом колене манометра 1 и такой же объем в левом колене манометра 2. Давление воздуха было равно $p_{0}$. Полагая сжатие воздуха изотермическим, запишем такое соотношение:
$\frac{p_{2} }{p_{0} } = \frac{ \frac{2SH}{2}}{S \left ( \frac{H}{2} + \frac{h}{2} \right ) }$,
откуда
$p_{2} = 2p_{0} \frac{H}{H + h}$.
Умножим числитель и знаменатель в правой части этого равенства на $\rho| \vec{g}|$:
$p_{2} = 2p_{0} \frac{ \rho | \vec{g} | H }{ \rho | \vec{g} | H + \rho | \vec{g} |h } = 2 \frac{ p_{0}^{2} }{p_{0} + \rho | \vec{g} | h }$. (3)
Из равенств (2) и (3) получаем
$p_{2}^{2} = 2p_{0}^{2}$, или $p_{2} = \sqrt{2}p_{0}$.
Тогда из равенства (1)
$p_{1} = (1 + \sqrt{2}) p_{0} \approx 2,4 атм$.
давление $p_{1}$ может превышать атмосферное давление на величину
$\Delta p_{1} = p_{1} - p_{0} \approx 1,4 атм$.
Одним U-образным ртутным манометром можно измерять давление до 1 атм. Какое наибольшее давление можно измерить, если соединить последовательно два таких манометра короткой трубкой?
Решение:
U-образный ртутный манометр (рис.) измеряет избыточное давление $\Delta p$, т. е. показывает, насколько давление $p$ в левом колене манометра больше атмосферного давления $p_{0}$. Ограничение на измеряемое давление накладывается длиной трубок манометра: нельзя измерить избыточное давление больше такого, при котором ртуть доходит до края правого колена. Иначе манометр выйдет из строя. Отсюда ясно, что
$\Delta p = p - p_{0} = \rho | \vec{g} | H = 1 атм$.
Пусть атмосферное давление тоже равно 1 атм. Тогда
$\rho | \vec{g}|H = p_{0}$.
При последовательном соединении двух манометров (рис.) давление $p_{1}$ в левом колене манометра 1 будет больше давления $p$ в случае одного манометра. В самом деле, давление $p_{2}$ в левом колене манометра 2 не равно атмосферному, а больше его на величину давления столба ртути высотой $h$. Таким образом,
$p_{1} = \rho | \vec{g} | H + p_{2} = p_{0} + p_{2}$. (1)
и
$p_{2} = p_{0} + \rho | \vec{g} | h$. (2)
С другой стороны, $p_{2}$ - это давление сжатою воздуха, занимающего объем $S \left ( \frac{H}{2} + \frac{h}{2} \right )$ ($S$ - площадь сечения трубок). Первоначально этот воздух занимал объем $\frac{SH}{2}$ в правом колене манометра 1 и такой же объем в левом колене манометра 2. Давление воздуха было равно $p_{0}$. Полагая сжатие воздуха изотермическим, запишем такое соотношение:
$\frac{p_{2} }{p_{0} } = \frac{ \frac{2SH}{2}}{S \left ( \frac{H}{2} + \frac{h}{2} \right ) }$,
откуда
$p_{2} = 2p_{0} \frac{H}{H + h}$.
Умножим числитель и знаменатель в правой части этого равенства на $\rho| \vec{g}|$:
$p_{2} = 2p_{0} \frac{ \rho | \vec{g} | H }{ \rho | \vec{g} | H + \rho | \vec{g} |h } = 2 \frac{ p_{0}^{2} }{p_{0} + \rho | \vec{g} | h }$. (3)
Из равенств (2) и (3) получаем
$p_{2}^{2} = 2p_{0}^{2}$, или $p_{2} = \sqrt{2}p_{0}$.
Тогда из равенства (1)
$p_{1} = (1 + \sqrt{2}) p_{0} \approx 2,4 атм$.
давление $p_{1}$ может превышать атмосферное давление на величину
$\Delta p_{1} = p_{1} - p_{0} \approx 1,4 атм$.
