Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12061
2019-12-17 
Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу $R$. В некоторый момент со спутники запускается станция на другую планету, после чего оставшаяся часть спутника движется по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли в точке, противоположной точке старта станции.
Какую максимальную часть массы спутника может составлять масса межпланетной станции? (Потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения тела массы $M$ равна $U = - \gamma \frac{mM}{r}$.)
Решение:
Из условия задачи ясно, что точка старта станции является наиболее удаленной от Земли точкой орбиты "остатка" спутника. В этой точке скорость спутника $u$ и скорость "остатка" $w$ направлены вдоль одной прямой, перпендикулярной радиусу-вектору, проведенному из центра Земли (рис.). Из закона сохранения импульса
$M \vec{u} = \mu \vec{ w} + m \vec{v}$ (1)
($M$ - масса спутника, $\mu$ - масса остатка, $m$ - масса станции, $\vec{v}$ - ее скорость сразу после старта) следует, что и скорость станции $\vec{v}$ сразу после старта направлена вдоль этой же прямой.
Очевидно, более выгодным является случай, когда скорость станции сразу после старта направлена в ту же сторону, что и скорость спутника непосредственно до старта, а скорость "остатка" направлена в противоположную сторону (см. рис.). Тогда
$| m \vec{v} | = |M \vec{u} | + | \mu \vec{w}|$. (2)
Отношение $m : M$ найдем из (2), учитывая, что $m + \mu = M$:
$\frac{m}{M} = \frac{ | \vec{u} | + | \vec{w} | }{ | \vec{v} | + | \vec{w} | }$. (3)
Определим значения $| \vec{u}|, | \vec{v} |, | \vec{w} |$.
Скорость спутника определим из условия движения по круговой орбите. Центростремительное ускорение спутнику сообщает сила притяжения к Земле:
$\frac{Mu^{2} }{2R} = \gamma \frac{M_{0}M }{4R^{2} }$
($M_{0}$ - масса Земли). Отсюда
$| \vec{u} | = \sqrt{ \gamma \frac{M_{0} }{2R} }$.
Полная механическая энергия станции и момент старта равна $\frac{mv^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0}m }{2R}$. По мере удаления от Земли потенциальная энергия станции увеличивается, и далеко от Земли (на бесконечности) она равна нулю. Минимальная скорость, которую имеет станция в момент старта, должна быть такой, чтобы уменьшение кинетической энергии станции за время полета было равно увеличению ее потенциальной энергии. Тогда на бесконечности и кинетическая энергия станции будет равна нулю Следовательно, в момент старта полная механическая энергии станции должна быть равна нулю. т. е.
$\frac{mv^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0}m }{2R} = 0$.
Отсюда
$| \vec{v} | = \sqrt{ \gamma \frac{M_{0} }{R} }$.
Определим значение $| \vec{w}|$. Согласно второму закону Кеплера радиус-вектор "остатка", движущегося по эллиптической орбите, за равные времена заметает равные площади. Если в перигее скорость остатка $\vec{w}^{ \prime}$ (рис.), то за малый промежуток времени $\Delta t$
$2R | \vec{w} | \Delta t = R | \vec{w}^{ \prime} | \Delta t$ (4)
(время $\Delta t$ достаточно мало, чтобы считать. что $| \vec{w}|, | \vec{w}^{ \prime} |$ и длины радиусов-векторов остаются постоянными).
Согласно закону сохранения энергии
$\frac{ \mu w^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0} \mu }{2R} = \frac{ \mu ( w^{ \prime} )^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0} \mu }{R}$. (5)
Из (4) и (5) найдем $| \vec{w}|$:
$| \vec{w} | = \sqrt{ \gamma \frac{M_{0} }{3R} }$.
Подставим найденные значения $| \vec{u} |, | \vec{v}|$ и $| \vec{w} |$ в выражение (3). окончательно получим
$\frac{m}{M} \approx 0,8$.
Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу $R$. В некоторый момент со спутники запускается станция на другую планету, после чего оставшаяся часть спутника движется по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли в точке, противоположной точке старта станции.
Какую максимальную часть массы спутника может составлять масса межпланетной станции? (Потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения тела массы $M$ равна $U = - \gamma \frac{mM}{r}$.)
Решение:
Из условия задачи ясно, что точка старта станции является наиболее удаленной от Земли точкой орбиты "остатка" спутника. В этой точке скорость спутника $u$ и скорость "остатка" $w$ направлены вдоль одной прямой, перпендикулярной радиусу-вектору, проведенному из центра Земли (рис.). Из закона сохранения импульса
$M \vec{u} = \mu \vec{ w} + m \vec{v}$ (1)
($M$ - масса спутника, $\mu$ - масса остатка, $m$ - масса станции, $\vec{v}$ - ее скорость сразу после старта) следует, что и скорость станции $\vec{v}$ сразу после старта направлена вдоль этой же прямой.
Очевидно, более выгодным является случай, когда скорость станции сразу после старта направлена в ту же сторону, что и скорость спутника непосредственно до старта, а скорость "остатка" направлена в противоположную сторону (см. рис.). Тогда
$| m \vec{v} | = |M \vec{u} | + | \mu \vec{w}|$. (2)
Отношение $m : M$ найдем из (2), учитывая, что $m + \mu = M$:
$\frac{m}{M} = \frac{ | \vec{u} | + | \vec{w} | }{ | \vec{v} | + | \vec{w} | }$. (3)
Определим значения $| \vec{u}|, | \vec{v} |, | \vec{w} |$.
Скорость спутника определим из условия движения по круговой орбите. Центростремительное ускорение спутнику сообщает сила притяжения к Земле:
$\frac{Mu^{2} }{2R} = \gamma \frac{M_{0}M }{4R^{2} }$
($M_{0}$ - масса Земли). Отсюда
$| \vec{u} | = \sqrt{ \gamma \frac{M_{0} }{2R} }$.
Полная механическая энергия станции и момент старта равна $\frac{mv^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0}m }{2R}$. По мере удаления от Земли потенциальная энергия станции увеличивается, и далеко от Земли (на бесконечности) она равна нулю. Минимальная скорость, которую имеет станция в момент старта, должна быть такой, чтобы уменьшение кинетической энергии станции за время полета было равно увеличению ее потенциальной энергии. Тогда на бесконечности и кинетическая энергия станции будет равна нулю Следовательно, в момент старта полная механическая энергии станции должна быть равна нулю. т. е.
$\frac{mv^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0}m }{2R} = 0$.
Отсюда
$| \vec{v} | = \sqrt{ \gamma \frac{M_{0} }{R} }$.
Определим значение $| \vec{w}|$. Согласно второму закону Кеплера радиус-вектор "остатка", движущегося по эллиптической орбите, за равные времена заметает равные площади. Если в перигее скорость остатка $\vec{w}^{ \prime}$ (рис.), то за малый промежуток времени $\Delta t$
$2R | \vec{w} | \Delta t = R | \vec{w}^{ \prime} | \Delta t$ (4)
(время $\Delta t$ достаточно мало, чтобы считать. что $| \vec{w}|, | \vec{w}^{ \prime} |$ и длины радиусов-векторов остаются постоянными).
Согласно закону сохранения энергии
$\frac{ \mu w^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0} \mu }{2R} = \frac{ \mu ( w^{ \prime} )^{2} }{2} - \gamma \frac{M_{0} \mu }{R}$. (5)
Из (4) и (5) найдем $| \vec{w}|$:
$| \vec{w} | = \sqrt{ \gamma \frac{M_{0} }{3R} }$.
Подставим найденные значения $| \vec{u} |, | \vec{v}|$ и $| \vec{w} |$ в выражение (3). окончательно получим
$\frac{m}{M} \approx 0,8$.
