Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12058
2019-12-17 
Рассеивающая линза с фокусным расстоянием $F = -0,6 м$ расположена так, что один из ре фокусов совпадает с полюсом вогнутою зеркала Каково фокусное расстояние $F^{ \prime}$ зеркала, если известно, что система дает действительное изображение предмета, помещенного на любом расстоянии перед линзой? Изображение создается лучами, вторично прошедшими через линзу после отражения от зеркала.
Решение:
Рассеивающая линза всегда дает мнимое изображение действительного источника. Следовательно, для того чтобы система давала действительное изображение, промежуточное изображение, которое получается после отражения лучей от зеркала, должно быть мнимым источником для линзы, то есть должно находиться справа от линзы.
В самом деле, из формулы рассеивающей линзы в случае мнимого источника
$- \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = - \frac{1}{F}$
следует, что
$f = \frac{dF}{F - d}$. (1)
(Напомним, что $d$ - расстояние от линзы до источника, $f$ - расстояние от линзы до изображения, $F$ - фокусное расстояние линзы ) Из (1) видно, что $f \geq 0$, если $d$ положительно и не превышает $F$.
Таким образом, промежуточное изображение $S_{2}$ источника после зеркала (рис.) должно находиться справа от зеркала на расстоянии $f_{2}$ таком, что
$F \leq f{2} \leq 2F$. (2)
Источником дли зеркала служит промежуточное изображение $S_{1}$ - мнимое изображение источника $S$, даваемое линзой после первого преломления лучей (см. рис.). Из формулы линзы для этого случая -
$\frac{1}{d_{1} } - \frac{1}{f_{1} } = - \frac{1}{F}$
- находим
$f_{1} = \frac{d_{1}F}{d_{1} + F }$. (3)
Расстояние $d_{1}$ от источника до линзы может меняться в пределах от 0 до $\infty$. При этом, как следует из формулы (3), $f_{1}$ меняется от 0 до $F$. Расстояние же $d_{2} = F + f_{1}$ от изображения $S_{1}$ до зеркала меняется при этом от $F$ до $2F$. Напомним, что это изображение служит источником для зеркала. Таким образом, нам нужно найти, при каком фокусном расстоянии $F^{ \prime}$ зеркала изображение источника, находящегося от зеркала на расстоянии $d_{2}$ таком, что
$F \leq d_{2} \leq 2F$, (4а)
получается на расстоянии $f_{2}$ от зеркала таком, что
$F \leq f_{2} \leq 2F$. (4б)
Из формулы зеркала -
$\frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{f_{2} } + \frac{1}{F^{ \prime} }$
- следует, что
$\frac{1}{f{2} } = \frac{1}{F^{ \prime} } - \frac{1}{d_{2} }$. (5)
Согласно условию (4б)
$\frac{1}{2F} \leq \frac{1}{f_{2} } \leq \frac{1}{F}$,
так что правая часть равенства (5) лежит в пределах
$\frac{1}{2F} \leq \frac{1}{F^{ \prime} } - \frac{1}{d_{2} } \leq \frac{1}{F}$.
Следовательно,
$\frac{1}{2F} + \frac{1}{F} \leq \frac{1}{F^{ \prime} } \leq \frac{1}{F} + \frac{1}{2F}$.
Полученное неравенство должно выполниться при всех произвольных $d_{2}$, удовлетворяющих условию (4а). Согласно этому условию
$\frac{1}{2F} \leq \frac{1}{d_{2} } \leq \frac{1}{F}$,
так что фокусное расстояние $F^{ \prime}$ зеркала должно быть таким, чтобы выполнилось условие
$\frac{1}{2F} + \frac{1}{F} \leq \frac{1}{F^{ \prime} } \leq \frac{1}{F} + \frac{1}{2F}$.
Следовательно, $\frac{1}{F^{ \prime} } = \frac{3}{2F}$, или
$F^{ \prime} = \frac{2}{3} F = 0,4 м$.
Рассеивающая линза с фокусным расстоянием $F = -0,6 м$ расположена так, что один из ре фокусов совпадает с полюсом вогнутою зеркала Каково фокусное расстояние $F^{ \prime}$ зеркала, если известно, что система дает действительное изображение предмета, помещенного на любом расстоянии перед линзой? Изображение создается лучами, вторично прошедшими через линзу после отражения от зеркала.
Решение:
Рассеивающая линза всегда дает мнимое изображение действительного источника. Следовательно, для того чтобы система давала действительное изображение, промежуточное изображение, которое получается после отражения лучей от зеркала, должно быть мнимым источником для линзы, то есть должно находиться справа от линзы.
В самом деле, из формулы рассеивающей линзы в случае мнимого источника
$- \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = - \frac{1}{F}$
следует, что
$f = \frac{dF}{F - d}$. (1)
(Напомним, что $d$ - расстояние от линзы до источника, $f$ - расстояние от линзы до изображения, $F$ - фокусное расстояние линзы ) Из (1) видно, что $f \geq 0$, если $d$ положительно и не превышает $F$.
Таким образом, промежуточное изображение $S_{2}$ источника после зеркала (рис.) должно находиться справа от зеркала на расстоянии $f_{2}$ таком, что
$F \leq f{2} \leq 2F$. (2)
Источником дли зеркала служит промежуточное изображение $S_{1}$ - мнимое изображение источника $S$, даваемое линзой после первого преломления лучей (см. рис.). Из формулы линзы для этого случая -
$\frac{1}{d_{1} } - \frac{1}{f_{1} } = - \frac{1}{F}$
- находим
$f_{1} = \frac{d_{1}F}{d_{1} + F }$. (3)
Расстояние $d_{1}$ от источника до линзы может меняться в пределах от 0 до $\infty$. При этом, как следует из формулы (3), $f_{1}$ меняется от 0 до $F$. Расстояние же $d_{2} = F + f_{1}$ от изображения $S_{1}$ до зеркала меняется при этом от $F$ до $2F$. Напомним, что это изображение служит источником для зеркала. Таким образом, нам нужно найти, при каком фокусном расстоянии $F^{ \prime}$ зеркала изображение источника, находящегося от зеркала на расстоянии $d_{2}$ таком, что
$F \leq d_{2} \leq 2F$, (4а)
получается на расстоянии $f_{2}$ от зеркала таком, что
$F \leq f_{2} \leq 2F$. (4б)
Из формулы зеркала -
$\frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{f_{2} } + \frac{1}{F^{ \prime} }$
- следует, что
$\frac{1}{f{2} } = \frac{1}{F^{ \prime} } - \frac{1}{d_{2} }$. (5)
Согласно условию (4б)
$\frac{1}{2F} \leq \frac{1}{f_{2} } \leq \frac{1}{F}$,
так что правая часть равенства (5) лежит в пределах
$\frac{1}{2F} \leq \frac{1}{F^{ \prime} } - \frac{1}{d_{2} } \leq \frac{1}{F}$.
Следовательно,
$\frac{1}{2F} + \frac{1}{F} \leq \frac{1}{F^{ \prime} } \leq \frac{1}{F} + \frac{1}{2F}$.
Полученное неравенство должно выполниться при всех произвольных $d_{2}$, удовлетворяющих условию (4а). Согласно этому условию
$\frac{1}{2F} \leq \frac{1}{d_{2} } \leq \frac{1}{F}$,
так что фокусное расстояние $F^{ \prime}$ зеркала должно быть таким, чтобы выполнилось условие
$\frac{1}{2F} + \frac{1}{F} \leq \frac{1}{F^{ \prime} } \leq \frac{1}{F} + \frac{1}{2F}$.
Следовательно, $\frac{1}{F^{ \prime} } = \frac{3}{2F}$, или
$F^{ \prime} = \frac{2}{3} F = 0,4 м$.
