Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12055
2019-12-17 
Имеется следующий проект летательного аппарата. Верхняя поверхность большой плоской пластинки поддерживается при постоянной температуре $0^{ \circ} С$, а нижняя - при температуре $100^{ \circ} С$. Изобретатель утверждает, что такая пластинки будет висеть в воздухе подобно дирижаблю. Объясните, почему. Оцените по порядку величины подъемную силу такой пластинки с площадью $1 м^{2}$ при температуре воздуха $20^{ \circ} С$.
Решение:
Налетающие на пластину молекулы воздуха имеют среднеквадратичную скорость, равную $\vec{v}_{ср.кв} = \sqrt{ \frac{3kT}{m} }$, где $T$ - температура воздуха, $m$ - масса молекулы. Среднее значение абсолютных величин проекций скоростей молекул на ось $OY$, перпендикулярную к поверхности пластины, равно
$\bar{v}_{y} \approx \frac{ \bar{v}_{ср.кв.}}{ \sqrt{3} } = \sqrt{ \frac{kT}{m}}$,
При столкновении с пластиной "температура" молекул становится равной температуре пластины. Это означает, что после отражения от нижней поверхности пластины
$\bar{v}_{y}^{ \prime} = \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} }$,
а после отражения от верхней поверхности
$\bar{v}_{y}^{ \prime \prime} = \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m} }$.
В результате проекция $p_{y}$ импульса молекулы, попадающей на нижнюю поверхность пластины, меняется при соударении на величину
$\Delta p_{y}^{ \prime} = m \left ( \sqrt{ \frac{kT}{m} } + \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} } \right )$,
а молекулы, попадающей на верхнюю поверхность, - на величину
$\Delta p_{y}^{ \prime \prime} = m \left ( \sqrt{ \frac{kT}{m}} + \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m} } \right )$.
За время $\Delta t$ на каждую из поверхностей попадают молекулы, находящиеся от пластины на расстоянии, равном $\bar{v_{y}} \Delta t$. Число этих молекул равно $N = n \bar{v}_{y} s \Delta t$, где $n$ - число молекул в единице объема, $s$ - площадь пластины.
В соответствии со вторым и третьим законами Ньютона на пластину в вертикальном направлении действуют силы, равные по абсолютным величинам изменениям проекций импульсов молекул в единицу времени. На нижнюю поверхность пластины действует направленная вверх сила (рис.)
$| \vec{F}_{1} | = \frac{N \Delta p_{y}^{ \prime} }{ \Delta t} = mn \bar{v}_{y}s \left ( \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} } + \sqrt{ \frac{kT}{m} } \right )$,
а на верхнюю - направленная вниз сила
$| \vec{F}_{2} | = \frac{N \Delta p_{y}^{ \prime \prime} }{ \Delta t} = mn \bar{v}_{y}s \left ( \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m} } + \sqrt{ \frac{kT}{m} } \right )$.
Так как $T_{1} > T_{2}$, то равнодействующая $\vec{R}$ сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ направлена вверх и равна по абсолютной величине
$| \vec{R} | = | \vec{F}_{1} | - | \vec{F}_{2} | = mn \bar{v}_{y}s \left ( \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} } - \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m}} \right ) = nsk \sqrt{T} ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } )$.
Число молекул, содержащихся в объеме $V$ воздуха при давлении $p$ и температуре $T$, равно $N_{V} = \nu N_{A}$, где $\nu$ - число молей воздуха в объеме $V, N_{A}$ - число Авогадро. Но $\nu = \frac{M}{ \mu} = \frac{pV}{RT}$. Так что число молекул в единице объема
$n = \frac{p}{RT} N_{A}$.
Таким образом,
$| \vec{R} | = \frac{pN_{A}sk }{RT} \sqrt{T} ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } ) = \frac{ps}{ \sqrt{T} } ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } )$.
Подавив в это выражение данные в условии величины (считая $p = 10^{5} н/м^{2}$), получим
$| \vec{R} | \approx 1,5 \cdot 10^{4} н$.
Имеется следующий проект летательного аппарата. Верхняя поверхность большой плоской пластинки поддерживается при постоянной температуре $0^{ \circ} С$, а нижняя - при температуре $100^{ \circ} С$. Изобретатель утверждает, что такая пластинки будет висеть в воздухе подобно дирижаблю. Объясните, почему. Оцените по порядку величины подъемную силу такой пластинки с площадью $1 м^{2}$ при температуре воздуха $20^{ \circ} С$.
Решение:
Налетающие на пластину молекулы воздуха имеют среднеквадратичную скорость, равную $\vec{v}_{ср.кв} = \sqrt{ \frac{3kT}{m} }$, где $T$ - температура воздуха, $m$ - масса молекулы. Среднее значение абсолютных величин проекций скоростей молекул на ось $OY$, перпендикулярную к поверхности пластины, равно
$\bar{v}_{y} \approx \frac{ \bar{v}_{ср.кв.}}{ \sqrt{3} } = \sqrt{ \frac{kT}{m}}$,
При столкновении с пластиной "температура" молекул становится равной температуре пластины. Это означает, что после отражения от нижней поверхности пластины
$\bar{v}_{y}^{ \prime} = \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} }$,
а после отражения от верхней поверхности
$\bar{v}_{y}^{ \prime \prime} = \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m} }$.
В результате проекция $p_{y}$ импульса молекулы, попадающей на нижнюю поверхность пластины, меняется при соударении на величину
$\Delta p_{y}^{ \prime} = m \left ( \sqrt{ \frac{kT}{m} } + \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} } \right )$,
а молекулы, попадающей на верхнюю поверхность, - на величину
$\Delta p_{y}^{ \prime \prime} = m \left ( \sqrt{ \frac{kT}{m}} + \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m} } \right )$.
За время $\Delta t$ на каждую из поверхностей попадают молекулы, находящиеся от пластины на расстоянии, равном $\bar{v_{y}} \Delta t$. Число этих молекул равно $N = n \bar{v}_{y} s \Delta t$, где $n$ - число молекул в единице объема, $s$ - площадь пластины.
В соответствии со вторым и третьим законами Ньютона на пластину в вертикальном направлении действуют силы, равные по абсолютным величинам изменениям проекций импульсов молекул в единицу времени. На нижнюю поверхность пластины действует направленная вверх сила (рис.)
$| \vec{F}_{1} | = \frac{N \Delta p_{y}^{ \prime} }{ \Delta t} = mn \bar{v}_{y}s \left ( \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} } + \sqrt{ \frac{kT}{m} } \right )$,
а на верхнюю - направленная вниз сила
$| \vec{F}_{2} | = \frac{N \Delta p_{y}^{ \prime \prime} }{ \Delta t} = mn \bar{v}_{y}s \left ( \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m} } + \sqrt{ \frac{kT}{m} } \right )$.
Так как $T_{1} > T_{2}$, то равнодействующая $\vec{R}$ сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ направлена вверх и равна по абсолютной величине
$| \vec{R} | = | \vec{F}_{1} | - | \vec{F}_{2} | = mn \bar{v}_{y}s \left ( \sqrt{ \frac{kT_{1} }{m} } - \sqrt{ \frac{kT_{2} }{m}} \right ) = nsk \sqrt{T} ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } )$.
Число молекул, содержащихся в объеме $V$ воздуха при давлении $p$ и температуре $T$, равно $N_{V} = \nu N_{A}$, где $\nu$ - число молей воздуха в объеме $V, N_{A}$ - число Авогадро. Но $\nu = \frac{M}{ \mu} = \frac{pV}{RT}$. Так что число молекул в единице объема
$n = \frac{p}{RT} N_{A}$.
Таким образом,
$| \vec{R} | = \frac{pN_{A}sk }{RT} \sqrt{T} ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } ) = \frac{ps}{ \sqrt{T} } ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } )$.
Подавив в это выражение данные в условии величины (считая $p = 10^{5} н/м^{2}$), получим
$| \vec{R} | \approx 1,5 \cdot 10^{4} н$.
