Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1205
2016-10-20 
В покоящемся сосуде объёмом $V = 31 л$ с очень жёсткими и совершенно не проводящими тепло стенками находятся воздух при нормальных условиях и вода в количестве $m = 9 г$. Сосуд практически мгновенно приобретает скорость $u$ и движется поступательно. После установления теплового равновесия воздух в сосуде имеет влажность $r = 50%$. Найдите скорость $u$. Удельная теплота парообразования воды $L = 2,5 МДж/кг$, удельная теплоёмкость воды $C = 4200 Дж/(кг \cdot К)$, давление насыщенных паров воды при нормальных условиях $p = 600 Па$, удельная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме $c_{V} = 720 Дж/(кг \cdot К)$, средняя молярная масса воздуха $\mu = 0,029 кг/моль$.
Решение:
В начальный момент масса водяного пара $M_{пара}$ очень мала по сравнению с массой воды в сосуде $m$. Массу пара можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона, учитывая, что молярная масса $\mu_{воды} = 18 г/моль$, а соответствующая нормальным условиям температура $T_{1} = 273 К$:
$M_{пара} = \frac{ \mu_{воды} pV}{RT_{1}} \approx 0,15 г \ll m = 9 г$.
Поэтому можно считать, что вся вода вначале находилась в жидком состоянии. После разгона сосуда объёмом $V = 31 литр$ при установившейся температуре внутри
него содержится $m = 9 г$ водяного пара при влажности $r = 50%$. Если бы при этой же температуре водяной пар был насыщенным, то в том же объёме находилось бы $m/r = 18 г$ водяного пара, то есть 1 моль.
Известно, что вода при атмосферном давлении кипит при $100^{ \circ} С$, то есть давление насыщенных паров воды при температуре $T_{2} = 373 К$ равно $p_{атм} = 10^{5} Па$. Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим, что при давлении $10^{5}$ Па и температуре $373 К$ один моль водяного пара (18 г) занимает объём
$V = \frac{RT_{2}}{p_{атм}} \approx 31 л$,
откуда следует, что в сосуде установилась температура, равная как раз $T_{2} = 373 К$.
В условии сказано, что стенки сосуда являются очень жёсткими, а это означает, что объём сосуда не изменяется. Стенки сосуда совершенно не проводят тепло, то есть энергия, которыми обладали воздух и вода, не теряется в результате теплопередачи. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся поступательно со скоростью $u$. В этой системе отсчёта сосуд сначала имел скорость $u$, а затем резко остановился. Воздух и вода имели, как целое, кинетическую энергию $\frac{Mu^{2}}{2}$ и некоторую внутреннюю энергию. После остановки сосуда суммарная энергия воды и воздуха осталась прежней, но теперь вода и воздух как целое не движутся, так что кинетическая энергия движения воды и воздуха, как целого, превратилась во внутреннюю энергию.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим, что масса воздуха в сосуде равна
$M_{возд} = \frac{ \mu p_{атм} V}{RT_{1}} \approx 39,6 г$.
Суммарная масса воды и воздуха $M = m + M_{возд} = 48,6 г$. Изменение внутренней энергии можно подсчитать по частям. Воздух при постоянном объёме нагрелся на $100^{ \circ} С$. На это потребовалось количество тепла $Q_{1} = M_{возд}c_{V}(T_{2} — T_{1}) \approx 2850 Дж$. Изменение внутренней энергии воды определяется только конечным и начальным состояниями системы и не зависит от процесса перехода. Поэтому можно считать, что сначала воду нагрели до $100^{ \circ} С$, а
затем перевели её в парообразное состояние. На нагревание воды пошло количество тепла $Q_{2} = mC(T_{2} — T_{1}) \approx 3780 Дж$. На парообразование пошло количество теплоты $Q_{3} = mL \approx 22500 Дж$.
Таким образом, общее изменение внутренней энергии равно кинетической энергии, которую имели вода и воздух:
$\Delta E = \frac{Mu^{2}}{2} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} \approx 29130 Дж$,
откуда
$u = \sqrt{ \frac{2 \Delta E}{M}} \approx 1100 м/с$.
В покоящемся сосуде объёмом $V = 31 л$ с очень жёсткими и совершенно не проводящими тепло стенками находятся воздух при нормальных условиях и вода в количестве $m = 9 г$. Сосуд практически мгновенно приобретает скорость $u$ и движется поступательно. После установления теплового равновесия воздух в сосуде имеет влажность $r = 50%$. Найдите скорость $u$. Удельная теплота парообразования воды $L = 2,5 МДж/кг$, удельная теплоёмкость воды $C = 4200 Дж/(кг \cdot К)$, давление насыщенных паров воды при нормальных условиях $p = 600 Па$, удельная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме $c_{V} = 720 Дж/(кг \cdot К)$, средняя молярная масса воздуха $\mu = 0,029 кг/моль$.
Решение:
В начальный момент масса водяного пара $M_{пара}$ очень мала по сравнению с массой воды в сосуде $m$. Массу пара можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона, учитывая, что молярная масса $\mu_{воды} = 18 г/моль$, а соответствующая нормальным условиям температура $T_{1} = 273 К$:
$M_{пара} = \frac{ \mu_{воды} pV}{RT_{1}} \approx 0,15 г \ll m = 9 г$.
Поэтому можно считать, что вся вода вначале находилась в жидком состоянии. После разгона сосуда объёмом $V = 31 литр$ при установившейся температуре внутри
него содержится $m = 9 г$ водяного пара при влажности $r = 50%$. Если бы при этой же температуре водяной пар был насыщенным, то в том же объёме находилось бы $m/r = 18 г$ водяного пара, то есть 1 моль.
Известно, что вода при атмосферном давлении кипит при $100^{ \circ} С$, то есть давление насыщенных паров воды при температуре $T_{2} = 373 К$ равно $p_{атм} = 10^{5} Па$. Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим, что при давлении $10^{5}$ Па и температуре $373 К$ один моль водяного пара (18 г) занимает объём
$V = \frac{RT_{2}}{p_{атм}} \approx 31 л$,
откуда следует, что в сосуде установилась температура, равная как раз $T_{2} = 373 К$.
В условии сказано, что стенки сосуда являются очень жёсткими, а это означает, что объём сосуда не изменяется. Стенки сосуда совершенно не проводят тепло, то есть энергия, которыми обладали воздух и вода, не теряется в результате теплопередачи. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся поступательно со скоростью $u$. В этой системе отсчёта сосуд сначала имел скорость $u$, а затем резко остановился. Воздух и вода имели, как целое, кинетическую энергию $\frac{Mu^{2}}{2}$ и некоторую внутреннюю энергию. После остановки сосуда суммарная энергия воды и воздуха осталась прежней, но теперь вода и воздух как целое не движутся, так что кинетическая энергия движения воды и воздуха, как целого, превратилась во внутреннюю энергию.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим, что масса воздуха в сосуде равна
$M_{возд} = \frac{ \mu p_{атм} V}{RT_{1}} \approx 39,6 г$.
Суммарная масса воды и воздуха $M = m + M_{возд} = 48,6 г$. Изменение внутренней энергии можно подсчитать по частям. Воздух при постоянном объёме нагрелся на $100^{ \circ} С$. На это потребовалось количество тепла $Q_{1} = M_{возд}c_{V}(T_{2} — T_{1}) \approx 2850 Дж$. Изменение внутренней энергии воды определяется только конечным и начальным состояниями системы и не зависит от процесса перехода. Поэтому можно считать, что сначала воду нагрели до $100^{ \circ} С$, а
затем перевели её в парообразное состояние. На нагревание воды пошло количество тепла $Q_{2} = mC(T_{2} — T_{1}) \approx 3780 Дж$. На парообразование пошло количество теплоты $Q_{3} = mL \approx 22500 Дж$.
Таким образом, общее изменение внутренней энергии равно кинетической энергии, которую имели вода и воздух:
$\Delta E = \frac{Mu^{2}}{2} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} \approx 29130 Дж$,
откуда
$u = \sqrt{ \frac{2 \Delta E}{M}} \approx 1100 м/с$.
