Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12049
2019-12-17 
Найти сопротивление между точкам А и В и точками А и С бесконечной цепочки, показанной на рисунке. Сопротивление проволочек между узлами схемы 1 ом.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся тем обстоятельством, что сопротивление любой бесконечной цепи не меняется, если к ней подсоединить звено, повторением которого строится вся цепочка. Им в нашем случае является звено, состоящее из пяти сопротивлении, выделенных на рисунке. Поэтому сопротивления цепей, показанных, на рисунках а и 6, одинаковы:
$R_{AB} = R_{A^{ \prime}B^{ \prime} }, R_{BC} = R_{B^{ \prime} C^{ \prime} }, R_{AC} = R_{A^{ \prime} C^{ \prime} }$.
Любую цепь, состоящую из сопротивлений и имеющую два вывода, всегда можно заменить одним эквивалентным сопротивлением. Точно так же составленную из сопротивлений цепь с тремя выводами можно заменить эквивалентной цепью, состоящей из трех сопротивлений, соединенных звездой (рис. а) или треугольником (рис. б). Заменим исходную цепь эквивалентной звездой. Так как исходная цепь симметрична, то $R_{AB} = R_{BC}$, то есть (см. рис. а)
$R_{1} + R_{3} = R_{1} + R_{2}$, или $R_{2} = R_{3}$.
Итак, в эквивалентной схеме звезды два сопротивления одинаковы. Обозначим их через $R$. Тогда схемы, показанные на рисунке, можно заменить эквивалентными схемами, показанными на рисунке. При этом (рис. а)
$R_{AB} = R_{BC} = R + R_{1}$ и $R_{AC} = 2R$.
Сопротивления $R_{A^{ \prime} B^{ \prime} }$ и $R_{A^{ \prime} C^{ \prime} }$ найдем, последовательно заменяй одним сопротивлением несколько сопротивлении включенных параллельно или последовательно. Для участка $A^{ \prime}B^{ \prime}$ (рис.)
$R_{A^{ \prime} B^{ \prime} } = 2r + R^{***} = 2r + \frac{rR^{**} }{r + R^{**} } = 2r + \frac{r(R + R^{*} )}{r + R + R^{*} } = 2r + r \frac{R^{2} + 2R_{1}R + R_{1}r + Rr }{(r + R)^{2} + 2(r + R)R_{1} }$.
При вычислении сопротивления $R_{A^{ \prime}C^{ \prime} }$ учтем, что точки О и E (рис.), благодаря симметрии цени, имеют одинаковый потенциал, и поэтому сопротивление $R_{1}$ можно просто исключить. В результате получим
$R_{A^{ \prime}C^{ \prime} } = 2r + R^{ \prime} = 2r + \frac{2rR}{r + R}$.
Так как $R_{AC} = R_{A^{ \prime} C^{ \prime} }$,
$2R = 2r + \frac{2rR}{r + R}$,
откуда
$R = \frac{1}{2} r(1 + \sqrt{5} )$.
Теперь приравняем $R_{AB}$ и $R_{A^{ \prime} B^{ \prime} }$:
$R + R_{1} = 2r + r \frac{R^{2} + 2R_{1}R + R_{1}r +Rr }{(r + R)^{2} + 2(r + R)R_{1} }$.
В результате получим квадратное уравнение
$aR_{1}^{2} + bR_{1} + c = О$,
где
$a = 2(R + r) = (3 + \sqrt{5})r$,
$b = 3R^{2} - 4r^{2} - 2Rr = \frac{1}{2} r^{2} ( \sqrt{5} - 1 )$.
$c = (R + r)(R^{2} - 2r^{2} - 2Rr ) = - \frac{1}{4} r^{3} (3 + \sqrt{5} )^{2}$.
Решая это квадратное уравнение, найдем $R_{1}$:
$R_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac } }{2a} = \frac{- ( \sqrt{5} - 1) \pm \sqrt{294 + 126 \sqrt{5} } }{4 (3 + \sqrt{5} ) }r$.
Поскольку сопротивление не может быть отрицательным, то
$R_{1} = \frac{- ( \sqrt{5} - 1) + \sqrt{294 + 126 \sqrt{5} } }{4(3 + \sqrt{5} )}r \approx 1,1r$.
Тогда окончательно
$R_{AB} = R_{BC} = R + R_{1} \approx 2,7r = 2,7 ом$,
$R_{AC} = 2R = (1 + \sqrt{5} )r \approx 3,2 ом$.
Найти сопротивление между точкам А и В и точками А и С бесконечной цепочки, показанной на рисунке. Сопротивление проволочек между узлами схемы 1 ом.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся тем обстоятельством, что сопротивление любой бесконечной цепи не меняется, если к ней подсоединить звено, повторением которого строится вся цепочка. Им в нашем случае является звено, состоящее из пяти сопротивлении, выделенных на рисунке. Поэтому сопротивления цепей, показанных, на рисунках а и 6, одинаковы:
$R_{AB} = R_{A^{ \prime}B^{ \prime} }, R_{BC} = R_{B^{ \prime} C^{ \prime} }, R_{AC} = R_{A^{ \prime} C^{ \prime} }$.
Любую цепь, состоящую из сопротивлений и имеющую два вывода, всегда можно заменить одним эквивалентным сопротивлением. Точно так же составленную из сопротивлений цепь с тремя выводами можно заменить эквивалентной цепью, состоящей из трех сопротивлений, соединенных звездой (рис. а) или треугольником (рис. б). Заменим исходную цепь эквивалентной звездой. Так как исходная цепь симметрична, то $R_{AB} = R_{BC}$, то есть (см. рис. а)
$R_{1} + R_{3} = R_{1} + R_{2}$, или $R_{2} = R_{3}$.
Итак, в эквивалентной схеме звезды два сопротивления одинаковы. Обозначим их через $R$. Тогда схемы, показанные на рисунке, можно заменить эквивалентными схемами, показанными на рисунке. При этом (рис. а)
$R_{AB} = R_{BC} = R + R_{1}$ и $R_{AC} = 2R$.
Сопротивления $R_{A^{ \prime} B^{ \prime} }$ и $R_{A^{ \prime} C^{ \prime} }$ найдем, последовательно заменяй одним сопротивлением несколько сопротивлении включенных параллельно или последовательно. Для участка $A^{ \prime}B^{ \prime}$ (рис.)
$R_{A^{ \prime} B^{ \prime} } = 2r + R^{***} = 2r + \frac{rR^{**} }{r + R^{**} } = 2r + \frac{r(R + R^{*} )}{r + R + R^{*} } = 2r + r \frac{R^{2} + 2R_{1}R + R_{1}r + Rr }{(r + R)^{2} + 2(r + R)R_{1} }$.
При вычислении сопротивления $R_{A^{ \prime}C^{ \prime} }$ учтем, что точки О и E (рис.), благодаря симметрии цени, имеют одинаковый потенциал, и поэтому сопротивление $R_{1}$ можно просто исключить. В результате получим
$R_{A^{ \prime}C^{ \prime} } = 2r + R^{ \prime} = 2r + \frac{2rR}{r + R}$.
Так как $R_{AC} = R_{A^{ \prime} C^{ \prime} }$,
$2R = 2r + \frac{2rR}{r + R}$,
откуда
$R = \frac{1}{2} r(1 + \sqrt{5} )$.
Теперь приравняем $R_{AB}$ и $R_{A^{ \prime} B^{ \prime} }$:
$R + R_{1} = 2r + r \frac{R^{2} + 2R_{1}R + R_{1}r +Rr }{(r + R)^{2} + 2(r + R)R_{1} }$.
В результате получим квадратное уравнение
$aR_{1}^{2} + bR_{1} + c = О$,
где
$a = 2(R + r) = (3 + \sqrt{5})r$,
$b = 3R^{2} - 4r^{2} - 2Rr = \frac{1}{2} r^{2} ( \sqrt{5} - 1 )$.
$c = (R + r)(R^{2} - 2r^{2} - 2Rr ) = - \frac{1}{4} r^{3} (3 + \sqrt{5} )^{2}$.
Решая это квадратное уравнение, найдем $R_{1}$:
$R_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac } }{2a} = \frac{- ( \sqrt{5} - 1) \pm \sqrt{294 + 126 \sqrt{5} } }{4 (3 + \sqrt{5} ) }r$.
Поскольку сопротивление не может быть отрицательным, то
$R_{1} = \frac{- ( \sqrt{5} - 1) + \sqrt{294 + 126 \sqrt{5} } }{4(3 + \sqrt{5} )}r \approx 1,1r$.
Тогда окончательно
$R_{AB} = R_{BC} = R + R_{1} \approx 2,7r = 2,7 ом$,
$R_{AC} = 2R = (1 + \sqrt{5} )r \approx 3,2 ом$.
