Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12047
2019-12-17 
Два велосипедиста в цирке едут с одинаковыми линейными скоростями и по окружностям радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$ центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга ($l < R_{1} + R_{2}$). Один из велосипедистов движется по часовой стрелке, другой - против. Найти относительные скорости велосипедистов (в системе координат, связанной с одним из них) в тот момент, когда они оба находятся на линии, проходящей через центры окружностей, в точках: а) $A_{1}$ и $A_{2}$; б) $A_{1}$ и $B_{1}$ в) $B_{1}$ и $B_{2}$; г) $B_{1}$ и $A_{2}$ (рис.).
Решение:
В условии задачи дана скорость каждого велосипедиста относительно неподвижной системы координат (связанной, например, с ареной цирка). Такую скорость принято называть абсолютной скоростью.
По условию требуется найти относительные скорости велосипедистов. Относительной скоростью, например, второго велосипедиста называется его скорость по отношению к движущейся системе координат, связанной с первым велосипедистом Слово "связанной" здесь означает, что первый велосипедист в этой системе неподвижен. Выберем в качестве такой системы систему с началом координат в центре $O_{1}$ окружности, по которой едет первый велосипедист, вращающуюся против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega = \frac{v}{R_{1} }$. Удобство такого выбора состоит в том, что в данном случае легко определить движение любой точки вращающейся системы относительно неподвижной. Это движение принято называть переносным движением, а скорость любой точки движущейся системы относительно неподвижной называют переносной скоростью.
В нашем случае переносное движение есть движение но окружности с угловой скоростью $\omega$. Следовательно, переносная скорость второго велосипедиста в точке $A_{2}$ равна
$| \vec{v}_{A_{2}}^{ пер} | = \omega \cdot O_{1}A_{2} = \frac{v}{R_{1} }(l + R_{2})$,
а в точке $B_{2}$ -
$| \vec{v}_{B_{2} }^{ пер} | = \omega \cdot O_{1}B_{2} = \frac{v}{R_{1} } (l - R_{2} )$.
В обеих точках переносные скорости перпендикулярны к к прямой $A_{1}A_{2}$ и направлена в одну сторону (на рисунке - вверх).
Абсолютная, относительная и переносная скорости точки связаны соотношением
$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}$.
то есть абсолютная скорость всегда равна векторной (геометрической) сумме относительной и переносной скоростей. Следовательно,
$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{абс} - \vec{v}_{пер}$>
Найдем относительную скорость второго велосипедиста, когда он находится в точке $A_{2}$. В этом случае абсолютная скорость равна по модулю $| \vec{v}_{A_{2} }^{ абс} | = v$ и направлена вниз (рис.), а переносная скорость по модулю равна $| \vec{v}_{A_{2} }^{ пер} | = \frac{v}{R_{1} } (l + R_{2} )$ и направлена вверх. Поэтому
$| \vec{v}_{A_{2} }^{ отн} | = v + \frac{v}{R_{1} } (l + R_{2} ) = v \frac{R_{1} + R_{2} + l }{R_{1} }$.
Направлена эта скорость вниз. Полученный результат не зависит от того, в какой точке в данный момент находится первый велосипедист.
В тот момент, когда второй велосипедист находится в точке $B_{2} | \vec{v}_{B_{2} }^{абс } | = v, | \vec{v}_{B_{2} }^{пер} | = \frac{v}{R_{1} } (l - R_{2} )$ и обе скорости направлены одинаково (вверх на рисунке). Следовательно, в этот момент скорость второго велосипедиста относительно первого равна по модулю
$| \vec{v}_{B_{2} }^{отн} | = v - \frac{v}{R_{1} } (l - R_{2} ) = v \frac{R_{1} + R_{2} - l }{R_{1} }$
и направлена вверх. Этот результат также не зависит от того, в какой точке в данный момент находится первый велосипедист.
Совершенно аналогичным образом определяется скорость первого велосипедиста в системе координат, связанной со вторым. В точке $A_{1}$ она направлена вниз и равна по модулю
$| \vec{v}_{A_{1} }^{ отн} | = v \frac{l + R_{1} + R_{2} }{R_{2} }$,
а в точке $B_{1}$ относительная скорость направлена вверх и по модулю равна
$| \vec{v}_{B_{1} }^{отн} | = v \frac{R_{1} + R_{2} - l }{R_{2} }$.
Два велосипедиста в цирке едут с одинаковыми линейными скоростями и по окружностям радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$ центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга ($l < R_{1} + R_{2}$). Один из велосипедистов движется по часовой стрелке, другой - против. Найти относительные скорости велосипедистов (в системе координат, связанной с одним из них) в тот момент, когда они оба находятся на линии, проходящей через центры окружностей, в точках: а) $A_{1}$ и $A_{2}$; б) $A_{1}$ и $B_{1}$ в) $B_{1}$ и $B_{2}$; г) $B_{1}$ и $A_{2}$ (рис.).
Решение:
В условии задачи дана скорость каждого велосипедиста относительно неподвижной системы координат (связанной, например, с ареной цирка). Такую скорость принято называть абсолютной скоростью.
По условию требуется найти относительные скорости велосипедистов. Относительной скоростью, например, второго велосипедиста называется его скорость по отношению к движущейся системе координат, связанной с первым велосипедистом Слово "связанной" здесь означает, что первый велосипедист в этой системе неподвижен. Выберем в качестве такой системы систему с началом координат в центре $O_{1}$ окружности, по которой едет первый велосипедист, вращающуюся против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega = \frac{v}{R_{1} }$. Удобство такого выбора состоит в том, что в данном случае легко определить движение любой точки вращающейся системы относительно неподвижной. Это движение принято называть переносным движением, а скорость любой точки движущейся системы относительно неподвижной называют переносной скоростью.
В нашем случае переносное движение есть движение но окружности с угловой скоростью $\omega$. Следовательно, переносная скорость второго велосипедиста в точке $A_{2}$ равна
$| \vec{v}_{A_{2}}^{ пер} | = \omega \cdot O_{1}A_{2} = \frac{v}{R_{1} }(l + R_{2})$,
а в точке $B_{2}$ -
$| \vec{v}_{B_{2} }^{ пер} | = \omega \cdot O_{1}B_{2} = \frac{v}{R_{1} } (l - R_{2} )$.
В обеих точках переносные скорости перпендикулярны к к прямой $A_{1}A_{2}$ и направлена в одну сторону (на рисунке - вверх).
Абсолютная, относительная и переносная скорости точки связаны соотношением
$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}$.
то есть абсолютная скорость всегда равна векторной (геометрической) сумме относительной и переносной скоростей. Следовательно,
$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{абс} - \vec{v}_{пер}$>
Найдем относительную скорость второго велосипедиста, когда он находится в точке $A_{2}$. В этом случае абсолютная скорость равна по модулю $| \vec{v}_{A_{2} }^{ абс} | = v$ и направлена вниз (рис.), а переносная скорость по модулю равна $| \vec{v}_{A_{2} }^{ пер} | = \frac{v}{R_{1} } (l + R_{2} )$ и направлена вверх. Поэтому
$| \vec{v}_{A_{2} }^{ отн} | = v + \frac{v}{R_{1} } (l + R_{2} ) = v \frac{R_{1} + R_{2} + l }{R_{1} }$.
Направлена эта скорость вниз. Полученный результат не зависит от того, в какой точке в данный момент находится первый велосипедист.
В тот момент, когда второй велосипедист находится в точке $B_{2} | \vec{v}_{B_{2} }^{абс } | = v, | \vec{v}_{B_{2} }^{пер} | = \frac{v}{R_{1} } (l - R_{2} )$ и обе скорости направлены одинаково (вверх на рисунке). Следовательно, в этот момент скорость второго велосипедиста относительно первого равна по модулю
$| \vec{v}_{B_{2} }^{отн} | = v - \frac{v}{R_{1} } (l - R_{2} ) = v \frac{R_{1} + R_{2} - l }{R_{1} }$
и направлена вверх. Этот результат также не зависит от того, в какой точке в данный момент находится первый велосипедист.
Совершенно аналогичным образом определяется скорость первого велосипедиста в системе координат, связанной со вторым. В точке $A_{1}$ она направлена вниз и равна по модулю
$| \vec{v}_{A_{1} }^{ отн} | = v \frac{l + R_{1} + R_{2} }{R_{2} }$,
а в точке $B_{1}$ относительная скорость направлена вверх и по модулю равна
$| \vec{v}_{B_{1} }^{отн} | = v \frac{R_{1} + R_{2} - l }{R_{2} }$.
