Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12046
2019-12-12 
В вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника, катет которого равен $a$, расположены одинаковые металлические шарики радиусов $r$ ($r \ll a$). Шарики заряжены зарядом $q$ каждый. Шарики 1 и 2 соединяют проводником, затем проводник убирают. Затем так же поступают с шариками 2 и 3 и, наконец, с шариками 3 и 1. Какие заряды установились на шариках?
Решение:
Решение задачи зависит от того, какой из шариков находится в вершине прямого угла.
Поэтому удобнее решить сначала две вспомогательные задачи. Первая задача - о распределении суммарного заряда $Q$ двух маленьких шариков, расположенных на концах катета. Шарики соединяют проводником в присутствии такого же шарика с зарядом $Q_{0}$, находящегося в третьей вершине равнобедренного прямоугольного треугольника (рис.). Пусть после соединения заряды шариков станут $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Соединенные шарики будут иметь один и тот же потенциал, который можно определить согласно принципу суперпозиции как сумму потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности. Условие $r \ll a$ позволяет не заботиться о том, как именно распределены заряды $Q_{1}, Q_{2}, Q_{0}$ по поверхностям шариков.
Система уравнений
$\frac{Q_{1}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} r } + \frac{Q_{2}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a } + \frac{Q_{0}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a } = \frac{Q_{2}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} r } + \frac{Q_{1}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a } + \frac{Q_{0}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a \sqrt{2} }$,
$Q_{1} + Q_{2} = Q$
приводит к решению
$Q_{1} = \frac{Q}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4(a - r)} Q_{0} = \frac{Q}{2} - kQ_{0}$,
$Q_{2} = \frac{Q}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4(a - r)} Q_{0} = \frac{Q}{2} + kQ_{0}$,
где $k = \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4(a - r)} \approx \frac{(2 - \sqrt{2} )r}{4a}$ (так как $r \ll a$).
Вторая вспомогательная задача - о распределении суммарного заряда $Q$ двух шариков, расположенных на концах гипотенузы. При соединении этих шариков в присутствии такого же шарика с зарядом $Q_{0}$, расположенного в вершине прямого угла, в силу симметрии суммарный заряд шариков распределяется между ними поровну:
$Q_{1} = Q_{2} = \frac{Q}{2}$.
Решение двух вспомогательных задач позволяет быстро найти решение трех основных. Рассмотрим, например, случай, когда в вершине прямого угла находится шарик 1 (рис.). Тогда до всех соединений
$q_{1} = q, q_{2} = q, q_{3} = Q_{0} = q$.
Суммарный заряд шариков 1 и 2 равен $Q = 2 q$. Заряд в третьей вершине $Q_{0} = q$. Поэтому после соединения шариков 1 и 2 будем иметь:
$Q_{1} = \frac{Q}{2} - kQ_{0} = q - kq, Q_{2} = q + kq, q_{3} = q$.
Теперь уберем проводник между шариками 1 и 2 и соединим шарики 2 и 3. Суммарный заряд шариков 2 и 3 до соединения 2-3 равен
$Q = (q + kq ) + q = 2q + kq$.
Эти шарики расположены на концах гипотенузы. Следовательно. после соединения 2-3 распределение зарядов будет таким:
$q_{1} = q - kq, q_{2} = \frac{Q}{2} = q + \frac{k}{2} q; q_{3} = q + \frac{k}{2}q$.
Суммарный заряд шариков 3 и 1 после убирания проводника равен
$Q = \left ( q + \frac{k}{2} q \right ) - (q - kq) = 2q - \frac{k}{2}q$,
заряд в последней вершине (2) равен $Q_{0} = q_{2} = q + \frac{k}{2} q$. Поэтому после соединения 3-1 заряды распределятся так:
$q_{1} = \frac{Q}{2} - kQ_{0} = \left (q - \frac{k}{2}q \right ) - k \left ( q + \frac{k}{2}q \right ) = q \left ( 1 - \frac{5}{4} k - \frac{1}{2} k^{2} \right )$,
$q_{2} = Q_{0} = q \left ( 1 + \frac{1}{2}k \right )$,
$q_{3} = \frac{Q}{2} + kQ_{0} = q \left ( 1 + \frac{3}{4} k + \frac{1}{2}k^{2} \right )$.
Подставляя значение $k \approx \frac{(2 - \sqrt{2} )r}{4a}$ и пренебрегая членами, содержащими величину $\frac{r}{a}$ в степени выше первой окончательно получим:
$q_{1} \approx q \left ( 1 - \frac{5(2 - \sqrt{2} )r}{16a} \right )$,
$q_{2} \approx q \left ( 1 + \frac{(2 - \sqrt{2} )r}{8a} \right )$,
$q_{3} \approx q \left ( 1 + \frac{3(2 - \sqrt{2} )r}{16a} \right )$,
В вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника, катет которого равен $a$, расположены одинаковые металлические шарики радиусов $r$ ($r \ll a$). Шарики заряжены зарядом $q$ каждый. Шарики 1 и 2 соединяют проводником, затем проводник убирают. Затем так же поступают с шариками 2 и 3 и, наконец, с шариками 3 и 1. Какие заряды установились на шариках?
Решение:
Решение задачи зависит от того, какой из шариков находится в вершине прямого угла.
Поэтому удобнее решить сначала две вспомогательные задачи. Первая задача - о распределении суммарного заряда $Q$ двух маленьких шариков, расположенных на концах катета. Шарики соединяют проводником в присутствии такого же шарика с зарядом $Q_{0}$, находящегося в третьей вершине равнобедренного прямоугольного треугольника (рис.). Пусть после соединения заряды шариков станут $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Соединенные шарики будут иметь один и тот же потенциал, который можно определить согласно принципу суперпозиции как сумму потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности. Условие $r \ll a$ позволяет не заботиться о том, как именно распределены заряды $Q_{1}, Q_{2}, Q_{0}$ по поверхностям шариков.
Система уравнений
$\frac{Q_{1}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} r } + \frac{Q_{2}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a } + \frac{Q_{0}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a } = \frac{Q_{2}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} r } + \frac{Q_{1}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a } + \frac{Q_{0}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} a \sqrt{2} }$,
$Q_{1} + Q_{2} = Q$
приводит к решению
$Q_{1} = \frac{Q}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4(a - r)} Q_{0} = \frac{Q}{2} - kQ_{0}$,
$Q_{2} = \frac{Q}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4(a - r)} Q_{0} = \frac{Q}{2} + kQ_{0}$,
где $k = \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4(a - r)} \approx \frac{(2 - \sqrt{2} )r}{4a}$ (так как $r \ll a$).
Вторая вспомогательная задача - о распределении суммарного заряда $Q$ двух шариков, расположенных на концах гипотенузы. При соединении этих шариков в присутствии такого же шарика с зарядом $Q_{0}$, расположенного в вершине прямого угла, в силу симметрии суммарный заряд шариков распределяется между ними поровну:
$Q_{1} = Q_{2} = \frac{Q}{2}$.
Решение двух вспомогательных задач позволяет быстро найти решение трех основных. Рассмотрим, например, случай, когда в вершине прямого угла находится шарик 1 (рис.). Тогда до всех соединений
$q_{1} = q, q_{2} = q, q_{3} = Q_{0} = q$.
Суммарный заряд шариков 1 и 2 равен $Q = 2 q$. Заряд в третьей вершине $Q_{0} = q$. Поэтому после соединения шариков 1 и 2 будем иметь:
$Q_{1} = \frac{Q}{2} - kQ_{0} = q - kq, Q_{2} = q + kq, q_{3} = q$.
Теперь уберем проводник между шариками 1 и 2 и соединим шарики 2 и 3. Суммарный заряд шариков 2 и 3 до соединения 2-3 равен
$Q = (q + kq ) + q = 2q + kq$.
Эти шарики расположены на концах гипотенузы. Следовательно. после соединения 2-3 распределение зарядов будет таким:
$q_{1} = q - kq, q_{2} = \frac{Q}{2} = q + \frac{k}{2} q; q_{3} = q + \frac{k}{2}q$.
Суммарный заряд шариков 3 и 1 после убирания проводника равен
$Q = \left ( q + \frac{k}{2} q \right ) - (q - kq) = 2q - \frac{k}{2}q$,
заряд в последней вершине (2) равен $Q_{0} = q_{2} = q + \frac{k}{2} q$. Поэтому после соединения 3-1 заряды распределятся так:
$q_{1} = \frac{Q}{2} - kQ_{0} = \left (q - \frac{k}{2}q \right ) - k \left ( q + \frac{k}{2}q \right ) = q \left ( 1 - \frac{5}{4} k - \frac{1}{2} k^{2} \right )$,
$q_{2} = Q_{0} = q \left ( 1 + \frac{1}{2}k \right )$,
$q_{3} = \frac{Q}{2} + kQ_{0} = q \left ( 1 + \frac{3}{4} k + \frac{1}{2}k^{2} \right )$.
Подставляя значение $k \approx \frac{(2 - \sqrt{2} )r}{4a}$ и пренебрегая членами, содержащими величину $\frac{r}{a}$ в степени выше первой окончательно получим:
$q_{1} \approx q \left ( 1 - \frac{5(2 - \sqrt{2} )r}{16a} \right )$,
$q_{2} \approx q \left ( 1 + \frac{(2 - \sqrt{2} )r}{8a} \right )$,
$q_{3} \approx q \left ( 1 + \frac{3(2 - \sqrt{2} )r}{16a} \right )$,
