Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12043
2019-12-12 
Найти радиус наибольшей капли воды, которая может испариться, не поглотив тепла извне.
Решение:
При испарении капли без поглощения тепла извне необходимое для испарения количество теплоты $Q$ получается за счет уменьшения поверхностной энергии капли $U_{п}$ при уменьшении площади ее поверхности.
Пусть радиус капли уменьшился на $\Delta R$, тогда объем капли уменьшился на
$\Delta V = \frac{4}{3} \pi R^{3} - \frac{4}{3} \pi (R - \Delta R )^{3} = 4 \pi R^{2} \Delta R - 2 \pi R ( \Delta R)^{2} + \frac{4}{3} \pi ( \Delta R)^{3}$.
При малом $\Delta R$ можно пренебречь вторым и третьим членами этого равенства по сравнению с первым членом, так что
$\Delta V = 4 \pi R^{2} \Delta R$.
Масса испарившейся при этом воды равна
$m = \rho \Delta V = 4 \pi \rho R^{2} \Delta R$.
Для ее испарения необходимо количество теплоты
$Q = Lm = 4 \pi L \rho R^{2} \Delta R$
где $L = 2,26 \cdot 10^{6} дж/кг$ - удельная теплота парообразования воды. Площадь поверхности капли уменьшилась на
$\Delta S = 4 \pi R^{2} - 4 \pi (R - \Delta R)^{2} = 8 \pi R \Delta R$
(членом, содержащим $( \Delta R)^{2}$, мы пренебрегаем), поэтому поверхностная энергия уменьшилась на
$\Delta U_{п} = 8 \pi R \Delta R \sigma$.
где $\sigma = 7,2 \cdot 10^{-2} дж/м^{2}$ - коэффициент поверхностного натяжения воды.
Приравняем выражения для $Q$ и $\Delta U_{п}$:
$4 \pi L \rho R^{2} \Delta R = 8 \pi R \Delta R \sigma$.
откуда
$R = \frac{2 \sigma}{ \rho L} \sim 10^{-10} м = 10^{-8} см$
Такая капля существовать не может, так как мы получили, что $R$ порядка межмолекулярных расстояний в воде. Следовательно. никакая капля не может испариться, не поглощая тепла извне.
При решении задачи мы предполагали, что температура капли и, следовательно, ее внутренняя энергия не изменяются. Это изменение можно, в принципе, учесть, но это не изменит ответ. Действительно, удельная теплоемкость воды равна $1 кал/г \cdot град$, а удельная теплота парообразования - $539 кал/г \cdot град$. Следовательно, если температура капли комнатная ($20^{ \circ} С$), то при охлаждении ее до $0^{ \circ} С$ может испариться примерно $\frac{20}{539} \approx 0,04$ массы капли. Поэтому ясно, что учет изменения внутренней энергии капли не может изменить ответ.
Найти радиус наибольшей капли воды, которая может испариться, не поглотив тепла извне.
Решение:
При испарении капли без поглощения тепла извне необходимое для испарения количество теплоты $Q$ получается за счет уменьшения поверхностной энергии капли $U_{п}$ при уменьшении площади ее поверхности.
Пусть радиус капли уменьшился на $\Delta R$, тогда объем капли уменьшился на
$\Delta V = \frac{4}{3} \pi R^{3} - \frac{4}{3} \pi (R - \Delta R )^{3} = 4 \pi R^{2} \Delta R - 2 \pi R ( \Delta R)^{2} + \frac{4}{3} \pi ( \Delta R)^{3}$.
При малом $\Delta R$ можно пренебречь вторым и третьим членами этого равенства по сравнению с первым членом, так что
$\Delta V = 4 \pi R^{2} \Delta R$.
Масса испарившейся при этом воды равна
$m = \rho \Delta V = 4 \pi \rho R^{2} \Delta R$.
Для ее испарения необходимо количество теплоты
$Q = Lm = 4 \pi L \rho R^{2} \Delta R$
где $L = 2,26 \cdot 10^{6} дж/кг$ - удельная теплота парообразования воды. Площадь поверхности капли уменьшилась на
$\Delta S = 4 \pi R^{2} - 4 \pi (R - \Delta R)^{2} = 8 \pi R \Delta R$
(членом, содержащим $( \Delta R)^{2}$, мы пренебрегаем), поэтому поверхностная энергия уменьшилась на
$\Delta U_{п} = 8 \pi R \Delta R \sigma$.
где $\sigma = 7,2 \cdot 10^{-2} дж/м^{2}$ - коэффициент поверхностного натяжения воды.
Приравняем выражения для $Q$ и $\Delta U_{п}$:
$4 \pi L \rho R^{2} \Delta R = 8 \pi R \Delta R \sigma$.
откуда
$R = \frac{2 \sigma}{ \rho L} \sim 10^{-10} м = 10^{-8} см$
Такая капля существовать не может, так как мы получили, что $R$ порядка межмолекулярных расстояний в воде. Следовательно. никакая капля не может испариться, не поглощая тепла извне.
При решении задачи мы предполагали, что температура капли и, следовательно, ее внутренняя энергия не изменяются. Это изменение можно, в принципе, учесть, но это не изменит ответ. Действительно, удельная теплоемкость воды равна $1 кал/г \cdot град$, а удельная теплота парообразования - $539 кал/г \cdot град$. Следовательно, если температура капли комнатная ($20^{ \circ} С$), то при охлаждении ее до $0^{ \circ} С$ может испариться примерно $\frac{20}{539} \approx 0,04$ массы капли. Поэтому ясно, что учет изменения внутренней энергии капли не может изменить ответ.
