Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12037
2019-12-12 
Песочные часы диаметра $d$ вставлены в запаянную и заполненную водой стеклянную трубку диаметра $D$($D \approx d$). В начальный момент часы находятся внизу трубки. При переворачивании трубки часы но некоторое время остаются вверху трубки, затем медленно опускаются вниз. Найти время, в течение которого часы находятся вверху трубки, если высота часов $h$($h \gg d$) их масса $M$, масса находящегося в часах песка $m$ и коэффициент трения часов о стенки трубки равен $k$. Время пересыпания песка из верхнего в нижний отсеки часов равно $\tau$.
Решение:
При переворачивании часов их центр тяжести - точка С на рисунке - находится выше точки О, в которой приложена выталкивающая архимедова сила, и часы оказываются "перекошенными". При этом на часы со стороны стенок трубки действуют силы реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ и силы трения $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$. По мере просыпания песка силы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ уменьшаются по абсолютной величине. В тот момент, когда часы начинают скользить вниз.
$F_{тр1} = kN_{1}$ и $F_{тр2} = kN_{2}$,
Так как в горизонтальном направлении часы не перемещаются, то $N_{1} = N_{2} =N$. Следовательно,
$F_{тр1} = F_{тр2} = kN$.
Обозначим через $t$ время от момента переворачивания трубки до того момента, когда часы начали скользить относительно трубки. За это время вниз просыпалась $x = \frac{l}{ \tau}$ часть песка. Найдем положение центра тяжести часов в момент времени $t$. При этом учтем, что внизу находится $x$-я часть песка, а вверху $(1 - x)$-я. Если вся высота песка $l$, то внизу находится столбик песка высотой $xl$ с массой $xm$, а вверху столбик высотой $(1 - x)l$ с массой $(1 - x)m$. Для простоты будем считать эти столбики цилиндрическими. Тогда нетрудно по обычным правилам найти положение центра тяжести часов:
$OC = \frac{m}{2(M + m)} (2x^{2}l - hx + l - 2xl )$.
Полагая, что $l = h/4$ (как показано на рисунке), получим
$OC = \frac{mh}{8(M + m)} (2x^{2} - 6x + 1)$. (1)
Теперь запишем условия равновесии часов. Во-первых, ясно, что $F_{тр1} + F_{тр2} - F_{в} = (M + m)g$, откуда
$F_{тр1} = F_{тр3} = \frac{1}{2} [(M + m)g - F_{в}] = \frac{g}{2} (M + m - \rho V )$,
и
$N = \frac{g}{2k} (M + m - \rho V)$, (2)
где $\rho$ - плотность воды и $V$ - объем часов.
Кроме того, $N_{1} \cdot OA \cdot \cos( \alpha + \beta ) + N_{2} \cdot OB \cdot \cos ( \alpha + \beta) + F_{тр1} \cdot OA \cdot \sin ( \alpha + \beta) = F_{тр2} \cdot OB \cdot \sin ( \alpha + \beta) + (M + m)g \cdot OC \cdot \sin \alpha$. (3)
Так как $d \approx D$ и угол $\alpha$ мал, то
$OA \cdot \cos ( \alpha + \beta) = OA \cdot \cos \beta = \frac{h}{2}$,
$OA \cdot \sin ( \alpha + \beta) = OB \cdot \sin ( \alpha + \beta)$
и
$OC \sin \alpha = OC \cdot tg \alpha = OC \frac{D - d}{h}$.
В результате из равенства (3) получаем
$N = (M + m)g \frac{D - d}{h^{2} } OC$.
Подставляя сюда выражения для $N$ (из равенства (2)) и для $OC$ (равенство (1)) и решая полученное уравнение относительно $x$, найдем
$x = \frac{1}{2} (3 + \sqrt{7 + 2a} )$, и $t = x \tau = \frac{ \tau}{2} (3 - \sqrt{7 + 2a^{2} } )$,
где $a = \frac{4h(M + m - \rho V)}{mk(D - d)}$.
Песочные часы диаметра $d$ вставлены в запаянную и заполненную водой стеклянную трубку диаметра $D$($D \approx d$). В начальный момент часы находятся внизу трубки. При переворачивании трубки часы но некоторое время остаются вверху трубки, затем медленно опускаются вниз. Найти время, в течение которого часы находятся вверху трубки, если высота часов $h$($h \gg d$) их масса $M$, масса находящегося в часах песка $m$ и коэффициент трения часов о стенки трубки равен $k$. Время пересыпания песка из верхнего в нижний отсеки часов равно $\tau$.
Решение:
При переворачивании часов их центр тяжести - точка С на рисунке - находится выше точки О, в которой приложена выталкивающая архимедова сила, и часы оказываются "перекошенными". При этом на часы со стороны стенок трубки действуют силы реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ и силы трения $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$. По мере просыпания песка силы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ уменьшаются по абсолютной величине. В тот момент, когда часы начинают скользить вниз.
$F_{тр1} = kN_{1}$ и $F_{тр2} = kN_{2}$,
Так как в горизонтальном направлении часы не перемещаются, то $N_{1} = N_{2} =N$. Следовательно,
$F_{тр1} = F_{тр2} = kN$.
Обозначим через $t$ время от момента переворачивания трубки до того момента, когда часы начали скользить относительно трубки. За это время вниз просыпалась $x = \frac{l}{ \tau}$ часть песка. Найдем положение центра тяжести часов в момент времени $t$. При этом учтем, что внизу находится $x$-я часть песка, а вверху $(1 - x)$-я. Если вся высота песка $l$, то внизу находится столбик песка высотой $xl$ с массой $xm$, а вверху столбик высотой $(1 - x)l$ с массой $(1 - x)m$. Для простоты будем считать эти столбики цилиндрическими. Тогда нетрудно по обычным правилам найти положение центра тяжести часов:
$OC = \frac{m}{2(M + m)} (2x^{2}l - hx + l - 2xl )$.
Полагая, что $l = h/4$ (как показано на рисунке), получим
$OC = \frac{mh}{8(M + m)} (2x^{2} - 6x + 1)$. (1)
Теперь запишем условия равновесии часов. Во-первых, ясно, что $F_{тр1} + F_{тр2} - F_{в} = (M + m)g$, откуда
$F_{тр1} = F_{тр3} = \frac{1}{2} [(M + m)g - F_{в}] = \frac{g}{2} (M + m - \rho V )$,
и
$N = \frac{g}{2k} (M + m - \rho V)$, (2)
где $\rho$ - плотность воды и $V$ - объем часов.
Кроме того, $N_{1} \cdot OA \cdot \cos( \alpha + \beta ) + N_{2} \cdot OB \cdot \cos ( \alpha + \beta) + F_{тр1} \cdot OA \cdot \sin ( \alpha + \beta) = F_{тр2} \cdot OB \cdot \sin ( \alpha + \beta) + (M + m)g \cdot OC \cdot \sin \alpha$. (3)
Так как $d \approx D$ и угол $\alpha$ мал, то
$OA \cdot \cos ( \alpha + \beta) = OA \cdot \cos \beta = \frac{h}{2}$,
$OA \cdot \sin ( \alpha + \beta) = OB \cdot \sin ( \alpha + \beta)$
и
$OC \sin \alpha = OC \cdot tg \alpha = OC \frac{D - d}{h}$.
В результате из равенства (3) получаем
$N = (M + m)g \frac{D - d}{h^{2} } OC$.
Подставляя сюда выражения для $N$ (из равенства (2)) и для $OC$ (равенство (1)) и решая полученное уравнение относительно $x$, найдем
$x = \frac{1}{2} (3 + \sqrt{7 + 2a} )$, и $t = x \tau = \frac{ \tau}{2} (3 - \sqrt{7 + 2a^{2} } )$,
где $a = \frac{4h(M + m - \rho V)}{mk(D - d)}$.
