Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12035
2019-12-12 
Два бильярдных шара, один из которых первоначально покоится, испытывают упругое "косое" столкновение. Линия, проходящая через центры шаров при столкновении, составляет угол $60^{ \circ}$ с направлением первоначального движения налетающего шара. Во время столкновения шары деформируются, и часть кинетической энергии налетающего шара переходит в потенциальную энергию упругой деформации шаров, которая при разлете шаров вновь переходит в кинетическую энергию. Определить максимальную часть энергии шаров, переходящею в энергию упругой деформации в процессе удара. Шары считать абсолютно гладкими
Решение:
Обозначим через $\vec{v}_{0}$ начальную скорость первого (налетающего) шара, а через $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ - скорости первого и второго шаров в момент их максимальной деформации. Согласно закону сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \Pi$.
где $m$ - масса каждого шара, $\Pi$ - максимальное значение потенциальной энергии упругой деформации шаров.
Введем систему координат $XOY$ и найдем проекции скоростей $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ на соответствующие оси координат. Ось $OX$ направим по линии, соединяющей центры шаров при ударе (рис.). В этом направлении между шарами происходит обычный лобовой упругий удар. Поскольку система шаров изолирована, проекции импульса системы на ось $OX$ сохраняется. В начальный момент эта проекция равна $mv_{0} \cos \alpha$. В тот момент, когда деформации шаров максимальны, проекции их скоростей на ось $OX$ одинаковы: $v_{1x} = v_{2x} = v_{x}$. Из закона сохранения импульса
$mv_{0} \cos \alpha = 2mv_{x}$,
или
$v_{1x} = v_{2x} = v_{x} = \frac{1}{2} v_{0} \cos \alpha$.
Так как шары абсолютно гладкие, взаимодействии их по оси $OY$ не происходит. Проекция скорости первого шара на эту ось не изменяется:
$v_{1y} = v_{0y} = v_{0} \sin \alpha$,
а проекция скорости второго шара остается равной нулю:
$v_{2y} = 0$,
Таким образом, закон сохранения энергии можно записать так:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{m(v_{1x}^{2} + v_{1y}^{2} ) }{2} + \frac{m (v_{2x}^{2} + v_{2y}^{2} ) }{2} + \Pi$,
или
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{4} + \frac{mv_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2} + \Pi$.
Отсюда найдем долю кинетической энергии налетающего шара, перешедшую в потенциальную энергию упругой деформации:
$\frac{ \Pi}{ \frac{mv_{0}^{2} }{2}} = \frac{ \cos^{2} \alpha }{2} = \frac{1}{8}$.
Два бильярдных шара, один из которых первоначально покоится, испытывают упругое "косое" столкновение. Линия, проходящая через центры шаров при столкновении, составляет угол $60^{ \circ}$ с направлением первоначального движения налетающего шара. Во время столкновения шары деформируются, и часть кинетической энергии налетающего шара переходит в потенциальную энергию упругой деформации шаров, которая при разлете шаров вновь переходит в кинетическую энергию. Определить максимальную часть энергии шаров, переходящею в энергию упругой деформации в процессе удара. Шары считать абсолютно гладкими
Решение:
Обозначим через $\vec{v}_{0}$ начальную скорость первого (налетающего) шара, а через $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ - скорости первого и второго шаров в момент их максимальной деформации. Согласно закону сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \Pi$.
где $m$ - масса каждого шара, $\Pi$ - максимальное значение потенциальной энергии упругой деформации шаров.
Введем систему координат $XOY$ и найдем проекции скоростей $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ на соответствующие оси координат. Ось $OX$ направим по линии, соединяющей центры шаров при ударе (рис.). В этом направлении между шарами происходит обычный лобовой упругий удар. Поскольку система шаров изолирована, проекции импульса системы на ось $OX$ сохраняется. В начальный момент эта проекция равна $mv_{0} \cos \alpha$. В тот момент, когда деформации шаров максимальны, проекции их скоростей на ось $OX$ одинаковы: $v_{1x} = v_{2x} = v_{x}$. Из закона сохранения импульса
$mv_{0} \cos \alpha = 2mv_{x}$,
или
$v_{1x} = v_{2x} = v_{x} = \frac{1}{2} v_{0} \cos \alpha$.
Так как шары абсолютно гладкие, взаимодействии их по оси $OY$ не происходит. Проекция скорости первого шара на эту ось не изменяется:
$v_{1y} = v_{0y} = v_{0} \sin \alpha$,
а проекция скорости второго шара остается равной нулю:
$v_{2y} = 0$,
Таким образом, закон сохранения энергии можно записать так:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{m(v_{1x}^{2} + v_{1y}^{2} ) }{2} + \frac{m (v_{2x}^{2} + v_{2y}^{2} ) }{2} + \Pi$,
или
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{4} + \frac{mv_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2} + \Pi$.
Отсюда найдем долю кинетической энергии налетающего шара, перешедшую в потенциальную энергию упругой деформации:
$\frac{ \Pi}{ \frac{mv_{0}^{2} }{2}} = \frac{ \cos^{2} \alpha }{2} = \frac{1}{8}$.
