Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12033
2019-12-12 
Пушка массы $M = 200 кг$ стреляет ядром массы $m = 20 кг$ под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Заряд пороха $r = 0,5 кг$, его теплота сгорания $q = 1000 ккал/кг$. В момент вылета ядра из пушки на него сидится барон Мюнхгаузен. Его масса $\mu = 70 кг$. На сколько ближе упадет ядро с Мюнхгаузеном при том же заряде пороха? На сколько нужно увеличить заряд пороха для того, чтобы Мюнхгаузен попал туда же, куда попадали ядра до этого? К. п. д. выстрела принять равным $\eta = 10$ %. Считать, что пушка находится на гладкой поверхности, по которой может скользить без трения.
Решение:
Прежде всего выясним, что происходит с ядром, пушкой и гладкой горизонтальной поверхностью, на которой находится пушка, в процессе выстрела. Строго говоря, выстрел длится некоторое конечное время, хотя и очень малое.
Если система пушка поверхности достаточно "мягкая", т.е. возможна деформация системы, и время выстрела много меньше характерного времени этой деформации, то явление развивается в два этапа. Сначала происходит взаимодействие ядра с пушкой, подвижной во всех направлениях, а потом - взаимодействие пушки с поверхностью (которое нас не интересует в дальнейшем). Очевидно, что в этом случае угол вылета ядра относительно Земли равен углу наклона ствола пушки $\alpha$.
Если же система пушка - поверхность абсолютно "жесткая", то пушка после выстрела вертикальной составляющей скорости не приобретает (аналогично случаю, когда пушка, неподвижно скрепленная с поверхностью, выстреливает вертикально вверх) и будет двигаться только по горизонтали. В этом случае угол вылета ядра $\beta$ уже не будет равен углу установки ствола $\alpha$.
Рассмотрим первый случай. Обозначим через $\vec{V}$ скорость пушки после выстрела, а через $\vec{v}$ - скорость ядра относительно Земли. Введем горизонтальную ($OX$) и вертикальную ($OY$) оси координат. Запишем закон сохранении импульса системы ядро-пушка для проекций на горизонтальную и вертикальную оси:
$mv_{x} = MV_{x}, mv_{y} = MV_{y}$.
Отсюда
$V_{x} = \frac{m}{M} v_{x}$ и $V_{y} = \frac{m}{M}v_{y}$.
Закон сохранения энергии, с учетом коэффициента полезного действия $\eta$ (полезной будем считать полную механическую энергию системы, т. е. кинетическую энергию ядра и
пушки), дает
$\frac{m(v_{x}^{2} + v_{y}^{2} )}{2} + \frac{M(V_{x}^{2} + V_{y}^{2} )}{2} = \eta qr$,
или, используя соотношения (1),
$v^{2} = \frac{2 \eta qr}{m \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) }$. (2)
Найдем дальность полета ядра:
$L = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g} = \frac{2 \eta qr \sin 2 \alpha}{mg \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) }$. (3)
Пусть теперь немедленно после выстрела на ядро садится барон Мюнхгаузен, причем делает это столь элегантно (ему не привыкать!), что не изменяет направления скорости ядра: начальная скорость барона равна нулю. Используя еще раз закон сохранения импульса, найдем модуль скорости $\vec{v}_{1}$ системы барон-ядро:
$mv = (m + \mu ) v_{1},$ и $v_{1} = \frac{m}{m + \mu} v = \frac{v}{1 + \frac{ \mu}{m} }$. (4)
Дальность полета $L_{1}$ этой системы будет равна
$L_{1} = \frac{v_{1}^{2} \sin 2 \alpha }{g} = \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} } \frac{v^{2} \sin 2 \alpha }{g} = L \frac{1}{ \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} }$.
Следовательно, ядро с Мюнхгаузеном упадет ближе на
$\Delta L = L - L_{1} = L \left [ 1 - \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} } \right ] \approx 1600 м$.
Для того чтобы попасть в прежнюю точку, барон должен заблаговременно подсыпать в пушку больше пороха. Теперь скорость ядра с бароном должна стать равной $v$, а новая скорость $v^{ \prime}$ одного ядра, согласно выражению (4), должна соответственно увеличиться:
$v^{ \prime} = v \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )$, и $v^{ \prime 2} = v \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2}$. (5)
Поскольку заряд пороха пропорционален квадрату скорости ядра (выражение (2)), новый заряд пороха будет равен
$r^{ \prime} = r \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} \approx 10 кг$.
Таким образом, заряд пороха надо увеличить на $r^{ \prime} - r \approx 9,5 кг$.
Предлагаем вам расчет для случая "жесткой" системы пушка - поверхность провести самостоятельно.
Пушка массы $M = 200 кг$ стреляет ядром массы $m = 20 кг$ под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Заряд пороха $r = 0,5 кг$, его теплота сгорания $q = 1000 ккал/кг$. В момент вылета ядра из пушки на него сидится барон Мюнхгаузен. Его масса $\mu = 70 кг$. На сколько ближе упадет ядро с Мюнхгаузеном при том же заряде пороха? На сколько нужно увеличить заряд пороха для того, чтобы Мюнхгаузен попал туда же, куда попадали ядра до этого? К. п. д. выстрела принять равным $\eta = 10$ %. Считать, что пушка находится на гладкой поверхности, по которой может скользить без трения.
Решение:
Прежде всего выясним, что происходит с ядром, пушкой и гладкой горизонтальной поверхностью, на которой находится пушка, в процессе выстрела. Строго говоря, выстрел длится некоторое конечное время, хотя и очень малое.
Если система пушка поверхности достаточно "мягкая", т.е. возможна деформация системы, и время выстрела много меньше характерного времени этой деформации, то явление развивается в два этапа. Сначала происходит взаимодействие ядра с пушкой, подвижной во всех направлениях, а потом - взаимодействие пушки с поверхностью (которое нас не интересует в дальнейшем). Очевидно, что в этом случае угол вылета ядра относительно Земли равен углу наклона ствола пушки $\alpha$.
Если же система пушка - поверхность абсолютно "жесткая", то пушка после выстрела вертикальной составляющей скорости не приобретает (аналогично случаю, когда пушка, неподвижно скрепленная с поверхностью, выстреливает вертикально вверх) и будет двигаться только по горизонтали. В этом случае угол вылета ядра $\beta$ уже не будет равен углу установки ствола $\alpha$.
Рассмотрим первый случай. Обозначим через $\vec{V}$ скорость пушки после выстрела, а через $\vec{v}$ - скорость ядра относительно Земли. Введем горизонтальную ($OX$) и вертикальную ($OY$) оси координат. Запишем закон сохранении импульса системы ядро-пушка для проекций на горизонтальную и вертикальную оси:
$mv_{x} = MV_{x}, mv_{y} = MV_{y}$.
Отсюда
$V_{x} = \frac{m}{M} v_{x}$ и $V_{y} = \frac{m}{M}v_{y}$.
Закон сохранения энергии, с учетом коэффициента полезного действия $\eta$ (полезной будем считать полную механическую энергию системы, т. е. кинетическую энергию ядра и
пушки), дает
$\frac{m(v_{x}^{2} + v_{y}^{2} )}{2} + \frac{M(V_{x}^{2} + V_{y}^{2} )}{2} = \eta qr$,
или, используя соотношения (1),
$v^{2} = \frac{2 \eta qr}{m \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) }$. (2)
Найдем дальность полета ядра:
$L = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g} = \frac{2 \eta qr \sin 2 \alpha}{mg \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) }$. (3)
Пусть теперь немедленно после выстрела на ядро садится барон Мюнхгаузен, причем делает это столь элегантно (ему не привыкать!), что не изменяет направления скорости ядра: начальная скорость барона равна нулю. Используя еще раз закон сохранения импульса, найдем модуль скорости $\vec{v}_{1}$ системы барон-ядро:
$mv = (m + \mu ) v_{1},$ и $v_{1} = \frac{m}{m + \mu} v = \frac{v}{1 + \frac{ \mu}{m} }$. (4)
Дальность полета $L_{1}$ этой системы будет равна
$L_{1} = \frac{v_{1}^{2} \sin 2 \alpha }{g} = \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} } \frac{v^{2} \sin 2 \alpha }{g} = L \frac{1}{ \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} }$.
Следовательно, ядро с Мюнхгаузеном упадет ближе на
$\Delta L = L - L_{1} = L \left [ 1 - \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} } \right ] \approx 1600 м$.
Для того чтобы попасть в прежнюю точку, барон должен заблаговременно подсыпать в пушку больше пороха. Теперь скорость ядра с бароном должна стать равной $v$, а новая скорость $v^{ \prime}$ одного ядра, согласно выражению (4), должна соответственно увеличиться:
$v^{ \prime} = v \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )$, и $v^{ \prime 2} = v \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2}$. (5)
Поскольку заряд пороха пропорционален квадрату скорости ядра (выражение (2)), новый заряд пороха будет равен
$r^{ \prime} = r \left (1 + \frac{ \mu}{m} \right )^{2} \approx 10 кг$.
Таким образом, заряд пороха надо увеличить на $r^{ \prime} - r \approx 9,5 кг$.
Предлагаем вам расчет для случая "жесткой" системы пушка - поверхность провести самостоятельно.
