Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1203
2016-10-20 
Два закрытых сосуда ёмкостью $V_{1} = 10 литров$ и $V_{2} = 20 литров$ имеют жёсткие стенки и поддерживаются при одинаковой постоянной температуре $0^{ \circ} C$. Сосуды соединены короткой трубкой с краном. Вначале кран закрыт. В первом сосуде находится воздух под давлением $p_{1} = 2 атм$ при относительной влажности $r_{1} = 20%$. Во втором сосуде находится воздух под давлением $p_{2} = 1 атм$ при относительной влажности $r_{2} = 40%$. Кран постепенно открывают так, что процесс выравнивания давлений в сосудах можно считать изотермическим. Найдите минимальную и максимальную относительную влажность воздуха в сосуде ёмкостью 10 литров.
Решение:
При указанной температуре (а её по условию задачи поддерживают постоянной) давление насыщенных паров воды $p_{н}$ много меньше, чем атмосферное давление, поэтому массой молекул воды можно пренебречь по сравнению с массой других газов, составляющих воздух. Масса газа в каждом сосуде пропорциональна произведению давления и объёма (в соответствии уравнением Менделеева — Клапейрона). До открывания крана в обоих сосудах масса газа была одинакова и пропорциональна произведению $p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} = 20 атм \times л$. После открывания крана в сосудах достаточно быстро установится одинаковое давление. Суммарный объём равен теперь 30 литрам, суммарная масса пропорциональна $p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} = 40 атм \times л$. В соответствии с законом Бойля — Мариотта $p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} = (V_{1} + V_{2})p_{3}$. Отсюда установившееся давление равно $p_{3} = \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2}}{V_{1}+V_{2}} \approx 1,33 атм$. При этом из десятилитрового сосуда в двадцатилитровый сосуд перейдёт часть содержимого. Давление при постоянной температуре пропорционально концентрации молекул. Концентрация молекул в сосуде объёмом 20 литров уменьшилась в $\frac{p_{1}}{p_{3}} = \frac{2 атм}{1,33 атм} \approx 1,5 раза$. Вместе с молекулами кислорода и азота, из которых в основном состоит воздух, из сосуда объёмом 10 литров в сосуд объёмом 20 литров при быстром установлении давления «перебрались» и молекулы воды, поэтому их концентрация тоже уменьшилась во столько же раз. Относительная влажность воздуха $r = p/p_{н}$ при постоянной температуре пропорциональна концентрации молекул воды. Поэтому в малом сосуде влажность вначале уменьшится до величины $r_{min} = r_{1} \frac{p_{3}}{p_{1}} \approx 13,3%$.
Со временем в результате диффузии в обоих сосудах установится одинаковая концентрация молекул воды. До открывания крана общее количество молекул воды было пропорционально величине $(V_{1}r_{1} + V_{2}r_{2})$. После установления равновесного распределения молекул воды их общее количество останется тем же и будет пропорционально $(V{1} + V_{2})r_{3}$. Величина $r_{3}$ и будет максимальной относительной влажностью воздуха в сосуде объёмом 10 литров:
$(V_{1}+V_{2})r_{3} = (V_{1}r_{1} + V_{2}r_{2})$.
Отсюда
$r_{3} = r_{max} = \frac{V_{1}r_{1} + V_{2}r_{2}}{V_{1}+V_{2}} \approx 33,3%.$
Таким образом, после открывания крана относительная влажность воздуха в меньшем сосуде вначале, при выравнивании давлений в сосудах, уменьшится от $r_{1} = 20%$ до $r_{min} \approx 13,3%$, а затем во время процесса диффузии возрастёт до максимального значения $r_{max} \approx 33,3%$.
Два закрытых сосуда ёмкостью $V_{1} = 10 литров$ и $V_{2} = 20 литров$ имеют жёсткие стенки и поддерживаются при одинаковой постоянной температуре $0^{ \circ} C$. Сосуды соединены короткой трубкой с краном. Вначале кран закрыт. В первом сосуде находится воздух под давлением $p_{1} = 2 атм$ при относительной влажности $r_{1} = 20%$. Во втором сосуде находится воздух под давлением $p_{2} = 1 атм$ при относительной влажности $r_{2} = 40%$. Кран постепенно открывают так, что процесс выравнивания давлений в сосудах можно считать изотермическим. Найдите минимальную и максимальную относительную влажность воздуха в сосуде ёмкостью 10 литров.
Решение:
При указанной температуре (а её по условию задачи поддерживают постоянной) давление насыщенных паров воды $p_{н}$ много меньше, чем атмосферное давление, поэтому массой молекул воды можно пренебречь по сравнению с массой других газов, составляющих воздух. Масса газа в каждом сосуде пропорциональна произведению давления и объёма (в соответствии уравнением Менделеева — Клапейрона). До открывания крана в обоих сосудах масса газа была одинакова и пропорциональна произведению $p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} = 20 атм \times л$. После открывания крана в сосудах достаточно быстро установится одинаковое давление. Суммарный объём равен теперь 30 литрам, суммарная масса пропорциональна $p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} = 40 атм \times л$. В соответствии с законом Бойля — Мариотта $p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2} = (V_{1} + V_{2})p_{3}$. Отсюда установившееся давление равно $p_{3} = \frac{p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2}}{V_{1}+V_{2}} \approx 1,33 атм$. При этом из десятилитрового сосуда в двадцатилитровый сосуд перейдёт часть содержимого. Давление при постоянной температуре пропорционально концентрации молекул. Концентрация молекул в сосуде объёмом 20 литров уменьшилась в $\frac{p_{1}}{p_{3}} = \frac{2 атм}{1,33 атм} \approx 1,5 раза$. Вместе с молекулами кислорода и азота, из которых в основном состоит воздух, из сосуда объёмом 10 литров в сосуд объёмом 20 литров при быстром установлении давления «перебрались» и молекулы воды, поэтому их концентрация тоже уменьшилась во столько же раз. Относительная влажность воздуха $r = p/p_{н}$ при постоянной температуре пропорциональна концентрации молекул воды. Поэтому в малом сосуде влажность вначале уменьшится до величины $r_{min} = r_{1} \frac{p_{3}}{p_{1}} \approx 13,3%$.
Со временем в результате диффузии в обоих сосудах установится одинаковая концентрация молекул воды. До открывания крана общее количество молекул воды было пропорционально величине $(V_{1}r_{1} + V_{2}r_{2})$. После установления равновесного распределения молекул воды их общее количество останется тем же и будет пропорционально $(V{1} + V_{2})r_{3}$. Величина $r_{3}$ и будет максимальной относительной влажностью воздуха в сосуде объёмом 10 литров:
$(V_{1}+V_{2})r_{3} = (V_{1}r_{1} + V_{2}r_{2})$.
Отсюда
$r_{3} = r_{max} = \frac{V_{1}r_{1} + V_{2}r_{2}}{V_{1}+V_{2}} \approx 33,3%.$
Таким образом, после открывания крана относительная влажность воздуха в меньшем сосуде вначале, при выравнивании давлений в сосудах, уменьшится от $r_{1} = 20%$ до $r_{min} \approx 13,3%$, а затем во время процесса диффузии возрастёт до максимального значения $r_{max} \approx 33,3%$.
