Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12023
2019-12-12 
Кубик массы $m$ прикреплен к двум пружинам с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ и длинами в недеформированном состоянии $l_{1}$ и $l_{2}$ соответственно. Пружины закреплены другими концами (рис.), так что кубик может двигаться по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью $\mu$, расстояние между точками закрепления пружин $L$, размер кубика мал и им можно пренебречь. Найти область, в которой кубик мажет находиться в равновесии.
Решение:
Введем систему координат с началом в точке О (ни левой стенке) и с положительным направлением оси ОХ вправо. Пусть координата кубика равна $x$ ($0 < x < L$); следовательно, он находится на расстоянии $x$ от левой стенки и из расстоянии $L-x$ от правой стенки (см. рис.).
Обозначим через $F_{1}$ проекцию силы, действующей на кубик со стороны левой пружины. По закону Гука
$F_{1} = k_{1}(l_{1} - x)$.
При $x > l{1}$ проекция отрицательна, т. е. сила направлена влево (левая пружина растянута), при $x < l_{1}$ - вправо. Аналогично проекция силы, действующей на кубик со стороны правой пружины, равна
$F_{2} = k_{2} [(l - x) - l_{2} ]$.
При $(L - x) > l_{2}$ правая пружина растянута, сила направлена вправо ($F_{2} > 0$), при $(L - x) < l_{2}$ - влево. Проекцию результирующей силы запишем в виде
$F = F_{1} + F_{2} = (k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2} ) - (k_{1} + k_{2} )x$.
Если кубик не прижат ни к левой, ни к правой стенке, то при равновесии сила $\vec{F}$ может компенсироваться только силой трения покоя $\vec{F}_{тр.п.}$. Считая, что абсолютная величина силы трения покоя не может превысить значения $F_{тр.п_{max} } = \mu N$, где $\vec{N}$ - сила нормального давления ($N = mg$), получаем
$- \mu N \leq F \leq \mu N$,
или
$- \mu mg \leq (k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2}) - (k_{1} + k_{2})x \leq \mu mg$.
Обозначим
$x_{1} = \frac{k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2} - \mu mg}{k_{1} + k_{2} }$,
$x_{2} = \frac{ k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2} + \mu mg }{k_{1} + k_{2} }$.
Тогда последнюю систему неравенств можно переписать так:
$x_{1} \leq x \leq x_{2}$.
Очевидно, что кубик не может проникнуть ни в правую, ни в левую стенки. Следовательно, области равновесия определяется неравенствами
$x_{min} \leq x \leq x_{max}$,
где
$x_{min} = \begin{cases} x_{1}, если \: x_{1} \geq 0 \\ 0, если \: x_{1} \leq 0. \end{cases}$
$x_{max} = \begin{cases} x_{2}, если \: x_{2} \leq L \\ L, если \: x_{2} \geq L. \end{cases}$
Кубик массы $m$ прикреплен к двум пружинам с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ и длинами в недеформированном состоянии $l_{1}$ и $l_{2}$ соответственно. Пружины закреплены другими концами (рис.), так что кубик может двигаться по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью $\mu$, расстояние между точками закрепления пружин $L$, размер кубика мал и им можно пренебречь. Найти область, в которой кубик мажет находиться в равновесии.
Решение:
Введем систему координат с началом в точке О (ни левой стенке) и с положительным направлением оси ОХ вправо. Пусть координата кубика равна $x$ ($0 < x < L$); следовательно, он находится на расстоянии $x$ от левой стенки и из расстоянии $L-x$ от правой стенки (см. рис.).
Обозначим через $F_{1}$ проекцию силы, действующей на кубик со стороны левой пружины. По закону Гука
$F_{1} = k_{1}(l_{1} - x)$.
При $x > l{1}$ проекция отрицательна, т. е. сила направлена влево (левая пружина растянута), при $x < l_{1}$ - вправо. Аналогично проекция силы, действующей на кубик со стороны правой пружины, равна
$F_{2} = k_{2} [(l - x) - l_{2} ]$.
При $(L - x) > l_{2}$ правая пружина растянута, сила направлена вправо ($F_{2} > 0$), при $(L - x) < l_{2}$ - влево. Проекцию результирующей силы запишем в виде
$F = F_{1} + F_{2} = (k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2} ) - (k_{1} + k_{2} )x$.
Если кубик не прижат ни к левой, ни к правой стенке, то при равновесии сила $\vec{F}$ может компенсироваться только силой трения покоя $\vec{F}_{тр.п.}$. Считая, что абсолютная величина силы трения покоя не может превысить значения $F_{тр.п_{max} } = \mu N$, где $\vec{N}$ - сила нормального давления ($N = mg$), получаем
$- \mu N \leq F \leq \mu N$,
или
$- \mu mg \leq (k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2}) - (k_{1} + k_{2})x \leq \mu mg$.
Обозначим
$x_{1} = \frac{k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2} - \mu mg}{k_{1} + k_{2} }$,
$x_{2} = \frac{ k_{1}l_{1} + k_{2}L - k_{2}l_{2} + \mu mg }{k_{1} + k_{2} }$.
Тогда последнюю систему неравенств можно переписать так:
$x_{1} \leq x \leq x_{2}$.
Очевидно, что кубик не может проникнуть ни в правую, ни в левую стенки. Следовательно, области равновесия определяется неравенствами
$x_{min} \leq x \leq x_{max}$,
где
$x_{min} = \begin{cases} x_{1}, если \: x_{1} \geq 0 \\ 0, если \: x_{1} \leq 0. \end{cases}$
$x_{max} = \begin{cases} x_{2}, если \: x_{2} \leq L \\ L, если \: x_{2} \geq L. \end{cases}$
