Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12019
2019-12-12 
При слабом ударе футбольного мяча о стенку он деформируется, как показало на рисунке. При этом деформация $x$ много меньше радиуса мяча $R$, и можно с хорошим приближением считать, что давление $p$ воздуха в мяче в процессе удара не меняется.
Пренебрегая упругостью покрышки, оценить время соударения мяча со стенкой. Провести числовой расчет для случая, когда месса мяча $m = 0,5 кг$, давление в нем $p = 2 атм$ и радиус $R = 12,5 см$.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на мяч во время удара. Это - сила реакции со стороны стенки $\vec{N}$ и сила атмосферного давления $\vec{F}_{a}$.
Согласно третьему закону Ньютона сила $\vec{N}$ численно равна и противоположно направлена силе давления мяча на стенку $\vec{F}_{д}$. Так как упругостью покрышки мяча можно пренебречь, то
$N = F_{д} = pS = \rho \pi r^{2}$
($S = \pi r^{2}$ - площадь соприкосновения мяча со стенкой, см. рис.). Направлена сила $\vec{N}$ перпендикулярно к стенке, т.е. по горизонтали вправо.
Для того чтобы найти силу атмосферного давления, разобьем поверхность соприкосновения меча с окружающим воздухом на малые участки с площадью $\Delta s_{i}$. На каждый участок действует сила атмосферного давления $\Delta \vec{F}_{i}$ (рис.), направленная перпендикулярно к поверхности и равная по абсолютной величине $\Delta F_{i} = p_{0} \Delta s_{i}$, ($p_{0}$ - атмосферное давление). Благодаря симметрии ясно, что вертикальные проекции всех сил $\Delta \vec{F}_{i}$ в сумме дают нуль, так что равнодействующая $\vec{F}_{a} = \sum \Delta \vec{F}_{i}$ направлена горизонтально влево и равна по модулю (см. рис.)
$F_{a} = \sum \Delta F_{i} \cos \alpha = p_{0} \sum \Delta s_{i} \cos \alpha $.
Величина $\Delta s_{i} \cos \alpha$ - это проекция площади $i$-го участка на вертикальную плоскость, a $\sum \Delta s_{i} \cos \alpha$ - сумма таких проекций, равная проекции плошали поверхности соприкосновения мяча с окружающим воздухом, т. е.
$\sum \Delta s_{i} \cos \alpha = \pi r^{2}$, и $F_{a} = p_{0} \pi r^{2}$.
Найдем теперь абсолютное значение силы $\vec{F} = \vec{N} + \vec{F}_{a}$:
$F = N - F_{a} = (p - p_{0} ) \pi r^{2} = (p - p_{0}) \pi [R^{2} - (R - x)^{2} ] = (p - p_{0}) \pi (2Rx - x^{2})$.
Поскольку деформация мяча $x$ мала по сравнению с его радиусом $R$, то величиной $x^{2}$ можно пренебречь по сравнению с величиной $2Rx$. Тогда $F = 2 \pi R (p - p_{0} )x$, или с учетом, что эта сила направлена противоположно деформации,
$F = -2 \pi R(p - p_{0})x = - kx$.
Таким образом, сила $F$ пропорциональна величине деформации $x$ ($k = 2 \pi R (p - p_{0})$ - коэффициент пропорциональности, он не меняется в процессе удара), т. е. носит упругий характер. Под действием такой силы тело может совершать колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$, где $m$ - масса тела.
Очевидно, что время соударения мяча со стенкой $\tau$ как раз равно половине периода колебаний, т. е.
$\tau = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \sqrt{ \frac{ \pi m}{2R (p - p_{0} ) } } \approx 8 \cdot 10^{-3} сек$.
При слабом ударе футбольного мяча о стенку он деформируется, как показало на рисунке. При этом деформация $x$ много меньше радиуса мяча $R$, и можно с хорошим приближением считать, что давление $p$ воздуха в мяче в процессе удара не меняется.
Пренебрегая упругостью покрышки, оценить время соударения мяча со стенкой. Провести числовой расчет для случая, когда месса мяча $m = 0,5 кг$, давление в нем $p = 2 атм$ и радиус $R = 12,5 см$.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на мяч во время удара. Это - сила реакции со стороны стенки $\vec{N}$ и сила атмосферного давления $\vec{F}_{a}$.
Согласно третьему закону Ньютона сила $\vec{N}$ численно равна и противоположно направлена силе давления мяча на стенку $\vec{F}_{д}$. Так как упругостью покрышки мяча можно пренебречь, то
$N = F_{д} = pS = \rho \pi r^{2}$
($S = \pi r^{2}$ - площадь соприкосновения мяча со стенкой, см. рис.). Направлена сила $\vec{N}$ перпендикулярно к стенке, т.е. по горизонтали вправо.
Для того чтобы найти силу атмосферного давления, разобьем поверхность соприкосновения меча с окружающим воздухом на малые участки с площадью $\Delta s_{i}$. На каждый участок действует сила атмосферного давления $\Delta \vec{F}_{i}$ (рис.), направленная перпендикулярно к поверхности и равная по абсолютной величине $\Delta F_{i} = p_{0} \Delta s_{i}$, ($p_{0}$ - атмосферное давление). Благодаря симметрии ясно, что вертикальные проекции всех сил $\Delta \vec{F}_{i}$ в сумме дают нуль, так что равнодействующая $\vec{F}_{a} = \sum \Delta \vec{F}_{i}$ направлена горизонтально влево и равна по модулю (см. рис.)
$F_{a} = \sum \Delta F_{i} \cos \alpha = p_{0} \sum \Delta s_{i} \cos \alpha $.
Величина $\Delta s_{i} \cos \alpha$ - это проекция площади $i$-го участка на вертикальную плоскость, a $\sum \Delta s_{i} \cos \alpha$ - сумма таких проекций, равная проекции плошали поверхности соприкосновения мяча с окружающим воздухом, т. е.
$\sum \Delta s_{i} \cos \alpha = \pi r^{2}$, и $F_{a} = p_{0} \pi r^{2}$.
Найдем теперь абсолютное значение силы $\vec{F} = \vec{N} + \vec{F}_{a}$:
$F = N - F_{a} = (p - p_{0} ) \pi r^{2} = (p - p_{0}) \pi [R^{2} - (R - x)^{2} ] = (p - p_{0}) \pi (2Rx - x^{2})$.
Поскольку деформация мяча $x$ мала по сравнению с его радиусом $R$, то величиной $x^{2}$ можно пренебречь по сравнению с величиной $2Rx$. Тогда $F = 2 \pi R (p - p_{0} )x$, или с учетом, что эта сила направлена противоположно деформации,
$F = -2 \pi R(p - p_{0})x = - kx$.
Таким образом, сила $F$ пропорциональна величине деформации $x$ ($k = 2 \pi R (p - p_{0})$ - коэффициент пропорциональности, он не меняется в процессе удара), т. е. носит упругий характер. Под действием такой силы тело может совершать колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$, где $m$ - масса тела.
Очевидно, что время соударения мяча со стенкой $\tau$ как раз равно половине периода колебаний, т. е.
$\tau = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \sqrt{ \frac{ \pi m}{2R (p - p_{0} ) } } \approx 8 \cdot 10^{-3} сек$.
