Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12012
2019-12-12 
В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ними $d$ помещен в поток проводящей жидкости с удельной проводимостью $\sigma$. Жидкость движется с постоянной скоростью $v$ параллельно пластинам. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией $B$. направленной перпендикулярно к скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление $R$?
Решение:
Находящийся в магнитном поле конденсатор, заполненный приводящей жидкостью, представляет собой источник тока. Найдем э. д. с. и внутреннее сопротивление этого источника.
На свободные заряды проводящей жидкости, движущиеся со скоростью $v$, в магнитном поле действует сила Лоренца $F_{л} = qvB$, искривляющая траектории зарядов. В результате заряды оседают на пластинах конденсатора. Если конденсатор не замкнут на внешнее сопротивление, процесс зарядки продолжается до тех пор, пока сила, действующая на заряды со стороны возникающего электрического поля, не уравновесит силу Лоренца. Из этого условия найдем напряженность электрического поля в конденсаторе не замкнутом на внешнее сопротивление:
$F_{эл} = F_{л}$, или $E_{q} = qvB \rightarrow E = vB$.
Следовательно, разность потенциалов между пластинами не замкнутого конденсатора, (э. д. с.) равна $\mathcal{E} = vBd$.
Внутреннее сопротивление конденсатора равно сопротивлению проводящей жидкости между обкладками:
$r = \frac{1 }{ \sigma} \frac{d}{S}$.
При подключении к конденсатору внешнего сопротивления $R$ по цепи идет ток $I = \frac{ \mathcal{E} }{R + r}$. При этом на сопротивлении $R$ выделяется мощность
$N = I^{2}R = \frac{(vBd)^{2}R }{ \left ( R + \frac{1}{ \sigma} \frac{d}{S} \right )^{2} }$.
Обратим внимание на парадоксальность полученного результата. Джоулево тепло в цепи выделяется за счет работы сторонних сил, то есть за счет работы силы Лоренца. Но ведь сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряда, следовательно, работы совершать не может. Как разрешить этот парадокс? За счет какого источника энергии выделяется джоулево тепло? Пожалуй, разбор этого вопроса интереснее и полезнее, чем решение первоначальной задачи.
Парадокс этот легко разрешить, если принять по внимание, что при замыкании цепи у свободных зарядов проводящей жидкости появляется составляющая скорости, направленная перпендикулярно пластинам. Следовательно, появляются составляющая силы Лоренца, направленная против скорости $\vec{v}$. Так что полная работа силы Лоренца складывается из работ двух ее составляющих. И эта суммарная работа равна нулю. Убедимся в этом.
Перемещение заряда внутри конденсатора от одной пластины к другой происходит за счет действия составляющей силы Лоренца, перпендикулярной пластинам. Значение этой составляющей
$F_{1} = qvB$,
Работа, совершаемая силой $F_{1}$ за единицу времени (т.е. мощность), равна
$N_{1} = F_{1}v_{1} = qvBv_{1}$,
где $v_{1}$ - составляющая скорости заряда, направленная перпендикулярно пластинам.
Составляющая силы Лоренца, направленная против скорости $\vec{v}$, равна по величине
$F_{2} = qv_{1}B$.
Работа, совершаемая этой силой за единицу времени,
$N_{2} = - F_{2}v_{1} = -qv_{1}Bv$
(сила $F_{2}$ действует как тормозящая силе, и потому совершаемая ею работа отрицательна).
Таким образом, работа силы Лоренца (если учесть все составляющие силы) действительно оказывается равной нулю:
$N_{1} + N_{2} = 0$.
Источником энергии в данном схеме, очевидно, является насос, прогоняющий жидкость через конденсатор. Этот насос должен постоянно совершать работу, так как на жидкость действует сила сопротивления, и вся эта работа в коночном счете переходит в тепло, выделяющееся в цепи.
В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ними $d$ помещен в поток проводящей жидкости с удельной проводимостью $\sigma$. Жидкость движется с постоянной скоростью $v$ параллельно пластинам. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией $B$. направленной перпендикулярно к скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление $R$?
Решение:
Находящийся в магнитном поле конденсатор, заполненный приводящей жидкостью, представляет собой источник тока. Найдем э. д. с. и внутреннее сопротивление этого источника.
На свободные заряды проводящей жидкости, движущиеся со скоростью $v$, в магнитном поле действует сила Лоренца $F_{л} = qvB$, искривляющая траектории зарядов. В результате заряды оседают на пластинах конденсатора. Если конденсатор не замкнут на внешнее сопротивление, процесс зарядки продолжается до тех пор, пока сила, действующая на заряды со стороны возникающего электрического поля, не уравновесит силу Лоренца. Из этого условия найдем напряженность электрического поля в конденсаторе не замкнутом на внешнее сопротивление:
$F_{эл} = F_{л}$, или $E_{q} = qvB \rightarrow E = vB$.
Следовательно, разность потенциалов между пластинами не замкнутого конденсатора, (э. д. с.) равна $\mathcal{E} = vBd$.
Внутреннее сопротивление конденсатора равно сопротивлению проводящей жидкости между обкладками:
$r = \frac{1 }{ \sigma} \frac{d}{S}$.
При подключении к конденсатору внешнего сопротивления $R$ по цепи идет ток $I = \frac{ \mathcal{E} }{R + r}$. При этом на сопротивлении $R$ выделяется мощность
$N = I^{2}R = \frac{(vBd)^{2}R }{ \left ( R + \frac{1}{ \sigma} \frac{d}{S} \right )^{2} }$.
Обратим внимание на парадоксальность полученного результата. Джоулево тепло в цепи выделяется за счет работы сторонних сил, то есть за счет работы силы Лоренца. Но ведь сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряда, следовательно, работы совершать не может. Как разрешить этот парадокс? За счет какого источника энергии выделяется джоулево тепло? Пожалуй, разбор этого вопроса интереснее и полезнее, чем решение первоначальной задачи.
Парадокс этот легко разрешить, если принять по внимание, что при замыкании цепи у свободных зарядов проводящей жидкости появляется составляющая скорости, направленная перпендикулярно пластинам. Следовательно, появляются составляющая силы Лоренца, направленная против скорости $\vec{v}$. Так что полная работа силы Лоренца складывается из работ двух ее составляющих. И эта суммарная работа равна нулю. Убедимся в этом.
Перемещение заряда внутри конденсатора от одной пластины к другой происходит за счет действия составляющей силы Лоренца, перпендикулярной пластинам. Значение этой составляющей
$F_{1} = qvB$,
Работа, совершаемая силой $F_{1}$ за единицу времени (т.е. мощность), равна
$N_{1} = F_{1}v_{1} = qvBv_{1}$,
где $v_{1}$ - составляющая скорости заряда, направленная перпендикулярно пластинам.
Составляющая силы Лоренца, направленная против скорости $\vec{v}$, равна по величине
$F_{2} = qv_{1}B$.
Работа, совершаемая этой силой за единицу времени,
$N_{2} = - F_{2}v_{1} = -qv_{1}Bv$
(сила $F_{2}$ действует как тормозящая силе, и потому совершаемая ею работа отрицательна).
Таким образом, работа силы Лоренца (если учесть все составляющие силы) действительно оказывается равной нулю:
$N_{1} + N_{2} = 0$.
Источником энергии в данном схеме, очевидно, является насос, прогоняющий жидкость через конденсатор. Этот насос должен постоянно совершать работу, так как на жидкость действует сила сопротивления, и вся эта работа в коночном счете переходит в тепло, выделяющееся в цепи.
