Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12011
2019-12-12 
Спутник Земли массой $m = 10 кг$, движущийся по круговой орбите в высоких слоях атмосферы, испытывает сопротивление разреженного воздуха. Сила сопротивления $F = 5 \cdot 10^{-4} н$. Определить, на сколько изменится скорость спутника за один оборот вокруг Земли. Высоту полета спутника над поверхностью Земли считать малой по сравнению с радиусом Земли.
Решение:
Полная энергия $E$ спутника массой $m$, движущегося по орбите радиуса $R$, складывается из его кинетической энергии $K = \frac{mv^{2}}{2} = \gamma \frac{mM}{2R}$ (скорость спутника на круговой околоземной орбите равна $\sqrt{ \gamma \fac{M}{R} }$, где $R$ - радиус Земли) и потенциальной энергии $\Pi =- \gamma \frac{mM}{R}$ (знак "минус" обусловлен характером сил притяжения между спутником и Землей: по мере сближения тел потенциальная энергия уменьшается). Таким образом,
$E = K + \Pi = - \gamma \frac{mM}{2R}$.
В результате действия силы сопротивления энергия спутника меняется, следовательно, меняется радиус орбиты. Подсчитаем изменение радиуса за один оборот.
Энергия спутника за одни оборот изменяется на величину $\Delta E$, численно равную работе силы сопротивления на пути $2 \pi R$, то есть $\Delta E = - 2 \pi RF$. Таким образом,
$\Delta E = - \gamma \frac{mM}{2(R + \Delta R)} + \gamma \frac{mM}{2R} = \gamma \frac{mM}{2} \frac{ \Delta R}{(R + \Delta R)R}$.
Предполагая, чго $| \Delta R | \ll R$, можем записать
$\gamma \frac{mM}{2} \frac{ \Delta R}{R^{2} } = - 2 \pi RF$.
Учитывая, что $\gamma \frac{M}{R^{2} } = g$, окончательно получим
$\Delta R = - \frac{4 \pi RF}{gm} \approx - 4 \cdot 10^{2} м$
($g = 9,8 м/сек^{2}, R \approx 6,4 \cdot 10^{8} м$).
Видно, что сделанное нами предположение $| \Delta R| \ll R$ справедливо
Итак, в результате действия силы сопротивления радиус орбиты спутника уменьшился. Следовательно, скорость спутника увеличилась. Найдем изменение скорости.
Кинетическая энергия спутника на орбите радиуса $R + \Delta R$ равна
$K_{R + \Delta R} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} = \gamma \frac{mM}{2(R + \Delta R)}$.
Изменение кинетической энергии
$\Delta K = \frac{m}{2} [(v + \Delta v)^{2} - v^{2}] = \frac{m}{2} [2v \Delta v + ( \Delta v)^{2} ] = - \gamma \frac{mM}{2} \frac{ \Delta R}{(R + \Delta R)R}$.
Предположив, что $\Delta v \ll v$ и учитывая, что $| \Delta R | \ll R$, можем записать.
$2v \Delta v \approx - \gamma M \frac{ \Delta R}{R^{2} }$,
откуда
$\Delta v = - \gamma \frac{M}{2vR} \frac{ \Delta R}{R}$.
Учитывая, что $v = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R} } \approx 8 \cdot 10^{3} м/сек$ (первая космическая скорость), окончательно получим
$\Delta v = - \frac{v}{2} \frac{ \Delta R}{R} \approx 0,25 м/сек$.
Спутник Земли массой $m = 10 кг$, движущийся по круговой орбите в высоких слоях атмосферы, испытывает сопротивление разреженного воздуха. Сила сопротивления $F = 5 \cdot 10^{-4} н$. Определить, на сколько изменится скорость спутника за один оборот вокруг Земли. Высоту полета спутника над поверхностью Земли считать малой по сравнению с радиусом Земли.
Решение:
Полная энергия $E$ спутника массой $m$, движущегося по орбите радиуса $R$, складывается из его кинетической энергии $K = \frac{mv^{2}}{2} = \gamma \frac{mM}{2R}$ (скорость спутника на круговой околоземной орбите равна $\sqrt{ \gamma \fac{M}{R} }$, где $R$ - радиус Земли) и потенциальной энергии $\Pi =- \gamma \frac{mM}{R}$ (знак "минус" обусловлен характером сил притяжения между спутником и Землей: по мере сближения тел потенциальная энергия уменьшается). Таким образом,
$E = K + \Pi = - \gamma \frac{mM}{2R}$.
В результате действия силы сопротивления энергия спутника меняется, следовательно, меняется радиус орбиты. Подсчитаем изменение радиуса за один оборот.
Энергия спутника за одни оборот изменяется на величину $\Delta E$, численно равную работе силы сопротивления на пути $2 \pi R$, то есть $\Delta E = - 2 \pi RF$. Таким образом,
$\Delta E = - \gamma \frac{mM}{2(R + \Delta R)} + \gamma \frac{mM}{2R} = \gamma \frac{mM}{2} \frac{ \Delta R}{(R + \Delta R)R}$.
Предполагая, чго $| \Delta R | \ll R$, можем записать
$\gamma \frac{mM}{2} \frac{ \Delta R}{R^{2} } = - 2 \pi RF$.
Учитывая, что $\gamma \frac{M}{R^{2} } = g$, окончательно получим
$\Delta R = - \frac{4 \pi RF}{gm} \approx - 4 \cdot 10^{2} м$
($g = 9,8 м/сек^{2}, R \approx 6,4 \cdot 10^{8} м$).
Видно, что сделанное нами предположение $| \Delta R| \ll R$ справедливо
Итак, в результате действия силы сопротивления радиус орбиты спутника уменьшился. Следовательно, скорость спутника увеличилась. Найдем изменение скорости.
Кинетическая энергия спутника на орбите радиуса $R + \Delta R$ равна
$K_{R + \Delta R} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} = \gamma \frac{mM}{2(R + \Delta R)}$.
Изменение кинетической энергии
$\Delta K = \frac{m}{2} [(v + \Delta v)^{2} - v^{2}] = \frac{m}{2} [2v \Delta v + ( \Delta v)^{2} ] = - \gamma \frac{mM}{2} \frac{ \Delta R}{(R + \Delta R)R}$.
Предположив, что $\Delta v \ll v$ и учитывая, что $| \Delta R | \ll R$, можем записать.
$2v \Delta v \approx - \gamma M \frac{ \Delta R}{R^{2} }$,
откуда
$\Delta v = - \gamma \frac{M}{2vR} \frac{ \Delta R}{R}$.
Учитывая, что $v = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R} } \approx 8 \cdot 10^{3} м/сек$ (первая космическая скорость), окончательно получим
$\Delta v = - \frac{v}{2} \frac{ \Delta R}{R} \approx 0,25 м/сек$.
