Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12010
2019-12-12 
Теннисный мяч попадает на тяжелую ракетку и упруго отражается от нее. Масса мяча много меньше ракетки, а скорость мяча до столкновения с ракеткой равна $\vec{v}$ и составляет угол $\alpha = 60^{ \circ}$ с перпендикуляром к ракетке. С какой постоянной скоростью должна поступательно двигаться ракетка для того, чтобы мяч отразился от нее под прямым углом к направлению первоначального движения? Как до, так и после столкновения с ракеткой мяч не вращается.
Решение:
При упругом столкновении мяча с неподвижной ракетой скорость мяча не меняется по абсолютной величине, но меняет направление. При этом составляющая скорости $\vec{v}_{y}$ (рис. а) остается постоянной ($\vec{v}^{ \prime}_{y} = \vec{v}_{y}$), а составляющая $\vec{v}_{x}$ меняет направление на противоположное ($\vec{v}_{x}^{ \prime} = - \vec{v}_{A}$).
По условию задачи скорость ракетки должна быть такой, чтобы мяч отражался под углом $\beta = 30^{ \circ}$ (для неподвижного наблюдателя), т е. должно выполняться условие (см. рис. б).
$\frac{| \vec{v}_{y}^{ \prime} |}{| \vec{v}_{x}^{ \prime} |} = tg \beta = \frac{1}{ \sqrt{3}}$. (*)
Посмотрим, как меняется скорость мяча при столкновении с движущейся ракеткой. Для этого рассмотрим движение в системе координат, связанной с ракеткой, движущейся относительно неподвижной системы координат с постоянной скоростью $\vec{w}$ (так как масса ракетки много больше массы мяча, скорость ракетки после столкновения практически не меняется). Поскольку эта система инерциальная, отражение происходит по закону "угол падения равен углу отражения". Скорость мяча в этой системе до столкновения равна $\vec{u} = \vec{v} - \vec{w}$ (см рис. в). Составляющие скорости $\vec{u}_{x}$ и $\vec{u}_{y}$ равны соответственно $\vec{u}_{x} = \vec{v}_{x} - \vec{w}, \vec{u}_{y} = \vec{v}_{y}$. При столкновении составляющая $\vec{u}_{y}$ остается постоянной ($\vec{u}_{y}^{ \prime} = \vec{u}_{y} = \vec{v}_{y}$), а составляющая $\vec{u}_{x}$ меняет направление на противоположное: $\vec{u}_{x}^{ \prime} = - \vec{u}_{x} = - \vec{v}_{x} + \vec{w}$.
В неподвижной системе координат скорость мяча после столкновения равна $\vec{v}^{ \prime} = \vec{u}^{ \prime} + \vec{w}$, причем составляющие $\vec{v}_{y}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{x}^{ \prime}$ равны $\vec{v}_{y}^{ \prime} = \vec{v}_{y}, \vec{v}_{x}^{ \prime} = vec{u}_{x}^{ \prime} + \vec{w} = - \vec{v}_{x} + 2 \vec{w}$.
Учитывая, что $| \vec{v}_{y} | = | \vec{v} | \sin \alpha, | \vec{v}_{x} | = | \vec{v} | \cos \alpha$, из условия (*)
$\frac{v \sin \alpha}{v \cos \alpha + 2w} = \frac{1}{ \sqrt{3} }$
найдем $w$:
$w = \frac{ \sqrt{3} v \sin \alpha - v \cos \alpha }{2} = \frac{v}{2}, \vec{w} = - \frac{ \vec{v} }{2}$.
Теннисный мяч попадает на тяжелую ракетку и упруго отражается от нее. Масса мяча много меньше ракетки, а скорость мяча до столкновения с ракеткой равна $\vec{v}$ и составляет угол $\alpha = 60^{ \circ}$ с перпендикуляром к ракетке. С какой постоянной скоростью должна поступательно двигаться ракетка для того, чтобы мяч отразился от нее под прямым углом к направлению первоначального движения? Как до, так и после столкновения с ракеткой мяч не вращается.
Решение:
При упругом столкновении мяча с неподвижной ракетой скорость мяча не меняется по абсолютной величине, но меняет направление. При этом составляющая скорости $\vec{v}_{y}$ (рис. а) остается постоянной ($\vec{v}^{ \prime}_{y} = \vec{v}_{y}$), а составляющая $\vec{v}_{x}$ меняет направление на противоположное ($\vec{v}_{x}^{ \prime} = - \vec{v}_{A}$).
По условию задачи скорость ракетки должна быть такой, чтобы мяч отражался под углом $\beta = 30^{ \circ}$ (для неподвижного наблюдателя), т е. должно выполняться условие (см. рис. б).
$\frac{| \vec{v}_{y}^{ \prime} |}{| \vec{v}_{x}^{ \prime} |} = tg \beta = \frac{1}{ \sqrt{3}}$. (*)
Посмотрим, как меняется скорость мяча при столкновении с движущейся ракеткой. Для этого рассмотрим движение в системе координат, связанной с ракеткой, движущейся относительно неподвижной системы координат с постоянной скоростью $\vec{w}$ (так как масса ракетки много больше массы мяча, скорость ракетки после столкновения практически не меняется). Поскольку эта система инерциальная, отражение происходит по закону "угол падения равен углу отражения". Скорость мяча в этой системе до столкновения равна $\vec{u} = \vec{v} - \vec{w}$ (см рис. в). Составляющие скорости $\vec{u}_{x}$ и $\vec{u}_{y}$ равны соответственно $\vec{u}_{x} = \vec{v}_{x} - \vec{w}, \vec{u}_{y} = \vec{v}_{y}$. При столкновении составляющая $\vec{u}_{y}$ остается постоянной ($\vec{u}_{y}^{ \prime} = \vec{u}_{y} = \vec{v}_{y}$), а составляющая $\vec{u}_{x}$ меняет направление на противоположное: $\vec{u}_{x}^{ \prime} = - \vec{u}_{x} = - \vec{v}_{x} + \vec{w}$.
В неподвижной системе координат скорость мяча после столкновения равна $\vec{v}^{ \prime} = \vec{u}^{ \prime} + \vec{w}$, причем составляющие $\vec{v}_{y}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{x}^{ \prime}$ равны $\vec{v}_{y}^{ \prime} = \vec{v}_{y}, \vec{v}_{x}^{ \prime} = vec{u}_{x}^{ \prime} + \vec{w} = - \vec{v}_{x} + 2 \vec{w}$.
Учитывая, что $| \vec{v}_{y} | = | \vec{v} | \sin \alpha, | \vec{v}_{x} | = | \vec{v} | \cos \alpha$, из условия (*)
$\frac{v \sin \alpha}{v \cos \alpha + 2w} = \frac{1}{ \sqrt{3} }$
найдем $w$:
$w = \frac{ \sqrt{3} v \sin \alpha - v \cos \alpha }{2} = \frac{v}{2}, \vec{w} = - \frac{ \vec{v} }{2}$.
