Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12009
2019-12-12 
Два стержня из разных металлов с коэффициентами линейного расширения $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ при температуре $0^{ \circ} С$ имеют малоразличающиеся длины $l_{1}$ и $l_{2}$ и поперечные сечения $S_{1}$ и $S_{2}$. При каких температурах стержни будут иметь одинаковые а) длины? 6) поперечные сечения? в) объемы?
Решение:
Так как длины, площади сечений и, следовательно, объемы стержней при $0^{ \circ} С$ различаются мало, можно считать, что искомые температуры таковы, что $\beta t \ll 1$. В этих условиях коэффициенты объемного расширения $\alpha \approx 3 \beta$, а коэффициент расширения площади $\gamma \approx 2 \beta$.
Температуру $t_{1}$, при которой стержни будут иметь одинаковую длину, можно найти из уравнения
$l_{1} (1 + \beta_{1} t_{1}) = l_{2} (1 + \beta_{2}t_{1})$.
Соответственно, для температуры $t_{2}$, при которой одинаковы площади поперечных сечений, получим уравнение
$S_{1} (1 + 2 \beta_{1}t_{2} = S_{2} (1 + 2 \beta_{2} t_{2})$,
а для температуры $t_{3}$ (одинаковые объемы) - уравнение
$V_{1}(1 + 3 \beta_{1}t_{3} ) = V_{2} (1 + 3 \beta_{2}t_{3} )$.
Таким образам,
$t_{1} = \frac{l_{1} - l_{2} }{ \beta_{2}l_{2} - \beta_{1}t_{1} }$;
$t_{2} = \frac{S_{1} - S_{2} }{2 ( \beta_{2}S_{2} - \beta_{1}S_{1} )}$;
$t_{3} = \frac{V_{1} - V_{2} }{3 ( \beta_{2}V_{2} - \beta_{1}V_{1} )}$.
Два стержня из разных металлов с коэффициентами линейного расширения $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ при температуре $0^{ \circ} С$ имеют малоразличающиеся длины $l_{1}$ и $l_{2}$ и поперечные сечения $S_{1}$ и $S_{2}$. При каких температурах стержни будут иметь одинаковые а) длины? 6) поперечные сечения? в) объемы?
Решение:
Так как длины, площади сечений и, следовательно, объемы стержней при $0^{ \circ} С$ различаются мало, можно считать, что искомые температуры таковы, что $\beta t \ll 1$. В этих условиях коэффициенты объемного расширения $\alpha \approx 3 \beta$, а коэффициент расширения площади $\gamma \approx 2 \beta$.
Температуру $t_{1}$, при которой стержни будут иметь одинаковую длину, можно найти из уравнения
$l_{1} (1 + \beta_{1} t_{1}) = l_{2} (1 + \beta_{2}t_{1})$.
Соответственно, для температуры $t_{2}$, при которой одинаковы площади поперечных сечений, получим уравнение
$S_{1} (1 + 2 \beta_{1}t_{2} = S_{2} (1 + 2 \beta_{2} t_{2})$,
а для температуры $t_{3}$ (одинаковые объемы) - уравнение
$V_{1}(1 + 3 \beta_{1}t_{3} ) = V_{2} (1 + 3 \beta_{2}t_{3} )$.
Таким образам,
$t_{1} = \frac{l_{1} - l_{2} }{ \beta_{2}l_{2} - \beta_{1}t_{1} }$;
$t_{2} = \frac{S_{1} - S_{2} }{2 ( \beta_{2}S_{2} - \beta_{1}S_{1} )}$;
$t_{3} = \frac{V_{1} - V_{2} }{3 ( \beta_{2}V_{2} - \beta_{1}V_{1} )}$.
