Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12007
2019-12-12 
Цилиндрический сосуд радиуса $R$, ось которого составляет угол $\alpha$ с вертикалью, заполнен водой. В цилиндр опускают хорошо притертый поршень, материал которого пропускает воздух, но непроницаем для воды. При каком минимальном весе поршня вся его нижняя поверхность будет касаться воды?
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на поршень. Это - сила тяжести $m \vec{g}$, равнодействующая $\vec{Q}$ сил давления воды и сила реакции $\vec{N}$ со стороны стенок цилиндра (рис.).
По условию задачи вес поршня должен быть минимальным. Это означает, что в самой верхней точке касания поршня и воды (точка O на рисунке) давление воды равно нулю. С увеличенном $x$ давление $p$ растет пропорционально $x$:
$p = \rho gh = \rho gx \sin \alpha$
($\rho$ - плотность воды). Для того чтобы найти равнодействующую $Q$ сил давления на поршень, разобьем его поверхность соприкосновения с водой на узкие полоски такие, что на каждой из них давление можно считать постоянным. Выберем две одинаковые полоски А и В (с площадью $s$ каждая), расположенные по разные стороны от центра поршня на равных расстояниях $a$ от него (рис.), и подсчитаем силу $\Delta Q$, действующую на обе полоски вместе. Давление воды в точках полоски А равно $p_{A} = \rho gx_{A} \sin \alpha = \rho g(R - a) \sin \alpha$, а в точках полоски B - $p_{B} = \rho gx_{B} \sin \alpha = \rho g(R + a) \sin \alpha$. Поэтому
$\Delta Q = p_{A}s + p_{B}s = 2s \rho gR \sin \alpha$.
Отсюда видно, что сила $\Delta Q$ не зависит от расстояния $a$, т. е. не зависит от положения полосок. Она определяется лишь суммарной площадью выбранных полосок Следовательно. сила давления, действующая на весь поршень, будет равна
$Q = \rho g R \sin \alpha \cdot \sum s_{i}$,
где $s_{i}$ - площадь $i$-й полоски. Но $\sum s_{i}$ - это площадь поршня, т. е. $\sum s_{i} = \pi R^{2}$, и
$Q = \pi \rho gR^{3} \sin \alpha$.
Будем считать, что трения между поршнем и стенками цилиндра нет; тогда сила реакции $\vec{N}$ направлена перпендикулярно к стенкам цилиндра.
При равновесии поршня сумма проекций всех сил на любое направление, а значит, и на ось $Y$, равна нулю. Тогда
$Q - mg \cos \alpha = 0$, или $mg = \pi \rho g R^{3} tg \alpha$.
Так как в нашем случае вес поршня (сила $\vec{P}$, с которой поршень действует на опору - на воду и стенки цилиндра) равен по абсолютной величине силе тяжести, то
$P = mg = \pi \rho R^{3} tg \alpha$.
Цилиндрический сосуд радиуса $R$, ось которого составляет угол $\alpha$ с вертикалью, заполнен водой. В цилиндр опускают хорошо притертый поршень, материал которого пропускает воздух, но непроницаем для воды. При каком минимальном весе поршня вся его нижняя поверхность будет касаться воды?
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на поршень. Это - сила тяжести $m \vec{g}$, равнодействующая $\vec{Q}$ сил давления воды и сила реакции $\vec{N}$ со стороны стенок цилиндра (рис.).
По условию задачи вес поршня должен быть минимальным. Это означает, что в самой верхней точке касания поршня и воды (точка O на рисунке) давление воды равно нулю. С увеличенном $x$ давление $p$ растет пропорционально $x$:
$p = \rho gh = \rho gx \sin \alpha$
($\rho$ - плотность воды). Для того чтобы найти равнодействующую $Q$ сил давления на поршень, разобьем его поверхность соприкосновения с водой на узкие полоски такие, что на каждой из них давление можно считать постоянным. Выберем две одинаковые полоски А и В (с площадью $s$ каждая), расположенные по разные стороны от центра поршня на равных расстояниях $a$ от него (рис.), и подсчитаем силу $\Delta Q$, действующую на обе полоски вместе. Давление воды в точках полоски А равно $p_{A} = \rho gx_{A} \sin \alpha = \rho g(R - a) \sin \alpha$, а в точках полоски B - $p_{B} = \rho gx_{B} \sin \alpha = \rho g(R + a) \sin \alpha$. Поэтому
$\Delta Q = p_{A}s + p_{B}s = 2s \rho gR \sin \alpha$.
Отсюда видно, что сила $\Delta Q$ не зависит от расстояния $a$, т. е. не зависит от положения полосок. Она определяется лишь суммарной площадью выбранных полосок Следовательно. сила давления, действующая на весь поршень, будет равна
$Q = \rho g R \sin \alpha \cdot \sum s_{i}$,
где $s_{i}$ - площадь $i$-й полоски. Но $\sum s_{i}$ - это площадь поршня, т. е. $\sum s_{i} = \pi R^{2}$, и
$Q = \pi \rho gR^{3} \sin \alpha$.
Будем считать, что трения между поршнем и стенками цилиндра нет; тогда сила реакции $\vec{N}$ направлена перпендикулярно к стенкам цилиндра.
При равновесии поршня сумма проекций всех сил на любое направление, а значит, и на ось $Y$, равна нулю. Тогда
$Q - mg \cos \alpha = 0$, или $mg = \pi \rho g R^{3} tg \alpha$.
Так как в нашем случае вес поршня (сила $\vec{P}$, с которой поршень действует на опору - на воду и стенки цилиндра) равен по абсолютной величине силе тяжести, то
$P = mg = \pi \rho R^{3} tg \alpha$.
