Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12002
2019-12-12 
Жесткие стержни длины $l_{1}$ и $l_{2}$ соединены шарнирно в точке $A$. Их свободные концы удаляются друг от друга равномерно со скоростями соответственно $v_{1}$ и $v_{2}$ направленными вдоль одной прямой (рис.). Найти ускорение точки A в тот момент, когда стержни составляют друг с другом угол $90^{ \circ}$. Движение стержней происходит в одной плоскости.
Решение:
Представим вектор $\vec{a}$ полного ускорения точки А а в момент, когда стержни составляют друг с другом угол $90^{ \circ}$, как сумму двух ускорении $a_{1}$ и $a_{2}$, направленных вдоль соответствующих стержней (см. рис.). Для вычисления $a_{1}$ и $a_{2}$ воспользуемся тем, что вектор ускорения остается постоянным при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью $v_{2}$ влево. В этой системе отсчета конец левого стержня (точка В) покоится; конец правого стержня (точка С) движется вправо со скоростью $v_{1} + v_{2}$, а точка А описывает окружность радиуса $l_{2}$ (рис.). Следовательно, ускорение $\vec{a}$ можно разложить на центростремительное (нормальное) ускорение и касательное (тангенциальное) ускорение. Это и есть ускорения $\vec{a}_{2}$ и $\vec{a}_{1}$ соответственно.
Модуль центростремительного ускорения $a_{2} = v^{2} / l_{2}$, где $v$ - линейная скорость движения точки А по окружности. В момент, когда стержни составляют друг с другом угол $90^{ \circ}$, вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль правого стержня. Другой конец стержня AC имеет и этот момент скорость $v_{1} + v_{2}$, направленную вправо. Так как стержень жесткий, проекции скоростей его концом на прямую, вдоль которой он расположен, должны быть одинаковыми (иначе изменялась бы длина стержня). Следовательно (см рис.).
$v = (v_{1} + v_{2} ) \cos \alpha_{1} = \frac{(v_{1} + v_{2} )l_{1} }{ \sqrt{ l_{1}^{2} + l_{2}^{2} } }$.
Тогда
$a_{2} = \frac{v^{2} }{l_{2} } = \frac{(v_{1} + v_{2} )^{2} l_{1}^{2}}{(l_{1}^{2} + l_{2}^{2} )l_{2} }$.
Аналогично, перейдя в систему отсчета, движущуюся вправо со скоростью $v_{1}$, получим
$a_{1} = \frac{(v_{1} + v_{2} )^{2} l_{1}^{2}}{(l_{1}^{2} + l_{2}^{2} )l_{1} }$.
Модуль полного ускорения
$a = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} } = \frac{(v_{1} + v_{2})^{2}}{(l_{1}^{2} + l_{2}^{2} )l_{1}l_{2} } \sqrt{l_{1}^{6} + l_{2}^{6} }$.
Вектор $\vec{a}$ составляет со стержнем АС угол $\beta$ такой, что
$tg \beta = \frac{a_{2} }{a_{1} } = \left ( \frac{l_{1} }{l_{2} } \right )^{3}$.
Жесткие стержни длины $l_{1}$ и $l_{2}$ соединены шарнирно в точке $A$. Их свободные концы удаляются друг от друга равномерно со скоростями соответственно $v_{1}$ и $v_{2}$ направленными вдоль одной прямой (рис.). Найти ускорение точки A в тот момент, когда стержни составляют друг с другом угол $90^{ \circ}$. Движение стержней происходит в одной плоскости.
Решение:
Представим вектор $\vec{a}$ полного ускорения точки А а в момент, когда стержни составляют друг с другом угол $90^{ \circ}$, как сумму двух ускорении $a_{1}$ и $a_{2}$, направленных вдоль соответствующих стержней (см. рис.). Для вычисления $a_{1}$ и $a_{2}$ воспользуемся тем, что вектор ускорения остается постоянным при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью $v_{2}$ влево. В этой системе отсчета конец левого стержня (точка В) покоится; конец правого стержня (точка С) движется вправо со скоростью $v_{1} + v_{2}$, а точка А описывает окружность радиуса $l_{2}$ (рис.). Следовательно, ускорение $\vec{a}$ можно разложить на центростремительное (нормальное) ускорение и касательное (тангенциальное) ускорение. Это и есть ускорения $\vec{a}_{2}$ и $\vec{a}_{1}$ соответственно.
Модуль центростремительного ускорения $a_{2} = v^{2} / l_{2}$, где $v$ - линейная скорость движения точки А по окружности. В момент, когда стержни составляют друг с другом угол $90^{ \circ}$, вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль правого стержня. Другой конец стержня AC имеет и этот момент скорость $v_{1} + v_{2}$, направленную вправо. Так как стержень жесткий, проекции скоростей его концом на прямую, вдоль которой он расположен, должны быть одинаковыми (иначе изменялась бы длина стержня). Следовательно (см рис.).
$v = (v_{1} + v_{2} ) \cos \alpha_{1} = \frac{(v_{1} + v_{2} )l_{1} }{ \sqrt{ l_{1}^{2} + l_{2}^{2} } }$.
Тогда
$a_{2} = \frac{v^{2} }{l_{2} } = \frac{(v_{1} + v_{2} )^{2} l_{1}^{2}}{(l_{1}^{2} + l_{2}^{2} )l_{2} }$.
Аналогично, перейдя в систему отсчета, движущуюся вправо со скоростью $v_{1}$, получим
$a_{1} = \frac{(v_{1} + v_{2} )^{2} l_{1}^{2}}{(l_{1}^{2} + l_{2}^{2} )l_{1} }$.
Модуль полного ускорения
$a = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} } = \frac{(v_{1} + v_{2})^{2}}{(l_{1}^{2} + l_{2}^{2} )l_{1}l_{2} } \sqrt{l_{1}^{6} + l_{2}^{6} }$.
Вектор $\vec{a}$ составляет со стержнем АС угол $\beta$ такой, что
$tg \beta = \frac{a_{2} }{a_{1} } = \left ( \frac{l_{1} }{l_{2} } \right )^{3}$.
