Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11999
2019-12-12 
Частота малых гармонических колебаний тяжелого шара на легкой закрепленной в стене спице (рис. а) равна $\nu_{1}$, а частота колебаний этого шара на прикрепленной к потолку пружине (рис. б) равна $\nu_{2}$. Какой будет частота $\nu$ колебаний шара на той же пружине, прикрепленной к спице (рис. в)?
Решение:
Так как колебании шара на спице - гармонические, то абсолютная величина силы упругости, действующей на шар при его смешении из положения равновесия, пропорциональна этому смещению:
$F_{упр} \sim x$, или $F_{упр} = k_{1}x$.
где $k_{1}$ - коэффициент пропорциональности. Следовательно, спица эквивалентна обычной пружине с жесткостью $k_{1}$. Тогда для частоты колебаний $\nu_{1}$ можно записать:
$\nu_{1} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k_{1} }{m} }$ (1)
($m$ - масса шара).
Во втором случае, когда шар прикреплен к пружине (обозначим ее жесткость через $k_{2}$), частота колебании равна
$\nu_{2} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k_{2} }{m} }$. (2)
Скрепленные вместе спицу и пружину можно рассматривать как две последовательно соединенные пружины с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$. Заменим их одной пружиной и выразим ее жесткость $k$ через величины $k_{1}$ и $k_{2}$. Так как общая деформация двух последовательно соединенных пружин равна сумме их деформаций, а силы упругости, возникающие в пружинах, по абсолютной величине совпадают, то $x_{общ} = x_{1} + x_{2}$, или $\frac{F_{упр} }{k} = \frac{F_{упр} }{k_{1} } + \frac{F_{упр} }{k_{2} }$. Следовательно,
$k = \frac{k_{1}k_{2}}{ k_{1} + k_{2} }$ и $\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m}} = \frac{1}{2m} \sqrt{ \frac{k_{1}k_{2} }{(k_{1} + k_{2} )m } }$.
Выразив $k_{1}$ и $k_{2}$ из равенств (1) и (2) соответственно, получим окончательно
$\nu = \frac{ \nu_{1} \nu_{2} }{ \sqrt{ \nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2} } }$.
Частота малых гармонических колебаний тяжелого шара на легкой закрепленной в стене спице (рис. а) равна $\nu_{1}$, а частота колебаний этого шара на прикрепленной к потолку пружине (рис. б) равна $\nu_{2}$. Какой будет частота $\nu$ колебаний шара на той же пружине, прикрепленной к спице (рис. в)?
Решение:
Так как колебании шара на спице - гармонические, то абсолютная величина силы упругости, действующей на шар при его смешении из положения равновесия, пропорциональна этому смещению:
$F_{упр} \sim x$, или $F_{упр} = k_{1}x$.
где $k_{1}$ - коэффициент пропорциональности. Следовательно, спица эквивалентна обычной пружине с жесткостью $k_{1}$. Тогда для частоты колебаний $\nu_{1}$ можно записать:
$\nu_{1} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k_{1} }{m} }$ (1)
($m$ - масса шара).
Во втором случае, когда шар прикреплен к пружине (обозначим ее жесткость через $k_{2}$), частота колебании равна
$\nu_{2} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k_{2} }{m} }$. (2)
Скрепленные вместе спицу и пружину можно рассматривать как две последовательно соединенные пружины с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$. Заменим их одной пружиной и выразим ее жесткость $k$ через величины $k_{1}$ и $k_{2}$. Так как общая деформация двух последовательно соединенных пружин равна сумме их деформаций, а силы упругости, возникающие в пружинах, по абсолютной величине совпадают, то $x_{общ} = x_{1} + x_{2}$, или $\frac{F_{упр} }{k} = \frac{F_{упр} }{k_{1} } + \frac{F_{упр} }{k_{2} }$. Следовательно,
$k = \frac{k_{1}k_{2}}{ k_{1} + k_{2} }$ и $\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m}} = \frac{1}{2m} \sqrt{ \frac{k_{1}k_{2} }{(k_{1} + k_{2} )m } }$.
Выразив $k_{1}$ и $k_{2}$ из равенств (1) и (2) соответственно, получим окончательно
$\nu = \frac{ \nu_{1} \nu_{2} }{ \sqrt{ \nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2} } }$.
