Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11997
2019-12-12 
П-образная капиллярная трубка с длиной колен $l = 10 см$ и диаметрами $d_{1} = 0,1 мм$ и $d_{2} = 0,2 мм$ опускается вертикально открытыми концами в воду и погружается настолько, чтобы уровень воды в более узком колене был вровень с уровнем воды в сосуде. Найти положение уровня воды в широком колене. Объемом горизонтальной трубки пренебречь. Атмосферное давление нормальное. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 70 дин/см$.
Решение:
Давление под изогнутой сферической поверхностью жидкости отличается от давления газа над ней па величину
$\Delta p = \frac{2 \sigma}{r}$, где $r$ - радиус сферы.
В случае полного смачивания стенок трубки водой мениски в узком и широком коленах можно принять за полусферы радиусов $r_{1} = d_{1}/2$ и $r_{2} = d_{2}/2$. Следовательно, если мениск не располагается на одном из концов соответствующего капилляра, давление воздуха над жидкостью и узком колене больше давления воды под поверхностью на $\Delta p_{1} = 4 \sigma / d_{1} \approx 28,6 см вод. cт.$, а в широком колене - на $\Delta p_{2} = 4 \sigma / d_{2} = 14,3 см вод. cт.$. Поэтому разность уровней таких менисков (см. рис.) может быть равной лишь
$\Delta h = \frac{ \Delta p_{1} }{ \rho g} - \frac{ \Delta p_{2} }{ \rho g} \approx 14,3 см$.
В нашем случае $l < \Delta h$. Значит, хотя бы один из менисков располагается на конце колена.
При одновременном соприкосновении концов П-образной трубки с поверхностью воды подъем жидкости в узком капилляре приведет к такому повышению давления воздуха в трубке, что он будет выходить (пробулькивать) через конец широкого капилляра.
Таким образом, вода в узком капилляре дойдет до самого верха, где образуется мениск радиуса $R_{1} > r_{1}$. Следовательно, трубку необходимо погрузить в жидкость на всю длину $l$.
У нижнего конца широкой трубки мениск может иметь радиус $R_{2} \geq r_{2}$. При $R_{2} = r_{2}$ давление воздуха в погруженной трубке максимально и равно
$p_{max} = p_{атм} = \rho gl + \frac{2 \sigma}{r_{2} }$.
Пробулькивание будет продолжаться до тех пор, пока масса воздуха не уменьшится настолько, что его давление станет равным $p_{max}$ или немного меньше. Мениск радиуса $R_{2} \geq r_{2}$ в широком колене будет располагаться у нижнего конца капилляра, то есть на глубине $l$.
Если концы трубки коснутся поверхности воды не одновременно, то пробулькивания полностью или частично не будет. В этом случае ответ задачи получится другим.
П-образная капиллярная трубка с длиной колен $l = 10 см$ и диаметрами $d_{1} = 0,1 мм$ и $d_{2} = 0,2 мм$ опускается вертикально открытыми концами в воду и погружается настолько, чтобы уровень воды в более узком колене был вровень с уровнем воды в сосуде. Найти положение уровня воды в широком колене. Объемом горизонтальной трубки пренебречь. Атмосферное давление нормальное. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 70 дин/см$.
Решение:
Давление под изогнутой сферической поверхностью жидкости отличается от давления газа над ней па величину
$\Delta p = \frac{2 \sigma}{r}$, где $r$ - радиус сферы.
В случае полного смачивания стенок трубки водой мениски в узком и широком коленах можно принять за полусферы радиусов $r_{1} = d_{1}/2$ и $r_{2} = d_{2}/2$. Следовательно, если мениск не располагается на одном из концов соответствующего капилляра, давление воздуха над жидкостью и узком колене больше давления воды под поверхностью на $\Delta p_{1} = 4 \sigma / d_{1} \approx 28,6 см вод. cт.$, а в широком колене - на $\Delta p_{2} = 4 \sigma / d_{2} = 14,3 см вод. cт.$. Поэтому разность уровней таких менисков (см. рис.) может быть равной лишь
$\Delta h = \frac{ \Delta p_{1} }{ \rho g} - \frac{ \Delta p_{2} }{ \rho g} \approx 14,3 см$.
В нашем случае $l < \Delta h$. Значит, хотя бы один из менисков располагается на конце колена.
При одновременном соприкосновении концов П-образной трубки с поверхностью воды подъем жидкости в узком капилляре приведет к такому повышению давления воздуха в трубке, что он будет выходить (пробулькивать) через конец широкого капилляра.
Таким образом, вода в узком капилляре дойдет до самого верха, где образуется мениск радиуса $R_{1} > r_{1}$. Следовательно, трубку необходимо погрузить в жидкость на всю длину $l$.
У нижнего конца широкой трубки мениск может иметь радиус $R_{2} \geq r_{2}$. При $R_{2} = r_{2}$ давление воздуха в погруженной трубке максимально и равно
$p_{max} = p_{атм} = \rho gl + \frac{2 \sigma}{r_{2} }$.
Пробулькивание будет продолжаться до тех пор, пока масса воздуха не уменьшится настолько, что его давление станет равным $p_{max}$ или немного меньше. Мениск радиуса $R_{2} \geq r_{2}$ в широком колене будет располагаться у нижнего конца капилляра, то есть на глубине $l$.
Если концы трубки коснутся поверхности воды не одновременно, то пробулькивания полностью или частично не будет. В этом случае ответ задачи получится другим.
