Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11994
2019-12-12 
При каком $C_{1}$ емкости системы конденсаторов, показанной на рисунке равна: а) $C$: б) $kC$ ($k \neq 1$); в) $C_{1}$?
Решение:
Пусть рассматриваемая система конденсаторов присоединена к источнику с напряжением $U$. Из соображений симметрии следует, что заряды конденсаторов емкости $kC$ будут одинаковыми. Обозначим их через $Q$. Аналогично равны заряды $q$ конденсаторов емкости $C$. Заряд конденсатора $C_{1}$ обозначим через $q_{1}$. Расставим произвольно знаки зарядов отдельных обкладок конденсаторов (см. рис.).
Заряд $Q_{x} = Q + q$ системы конденсаторов связан с напряжением $U = U_{2} + U_{3} = \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC}$, приложенным к системе, соотношением $Q_{x} = C_{x}U$, где $C_{x}$ - емкость системы, то есть
$Q + q = C_{x} \left ( \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC} \right )$. (1)
Работа сил электростатического поля по перенесению любого, а значит и единичного, заряда по замкнутой траектории всегда равна нулю. Обойдя, например, верхний контур (см. рис.) против часовой стрелки, получим
$U_{1} - U_{2} + U_{3} = \frac{q_{1} }{C_{1} } - \frac{q}{C} + \frac{q}{kC} = 0$. (2)
Воспользуемся также законом сохранения заряда. Часть системы, показанная на рисунке красным цветом (можно рассмотреть и участок, показанный синим цветом), до присоединения системы к источнику была нейтральном. Так как эта часть изолирована, ее суммарный заряд останется равным нулю:
$q + q_{1} - Q = 0$. (3)
Из уравнений (1)-(3) следует, что
$C_{x} = \frac{2kC + (1 + k)C_{1} }{2C_{1} + (1 + k)C } C$.
Отсюда легко получить, что
a) $C_{x} = C$ при $C_{1} = - C$, что невозможно;
б) $C_{x} = kC$ ($k \neq 1$) при $C_{1} = - kC$, что также невозможно;
b) $C_{x} = C_{1}$ при $C_{1} = \sqrt{k}C$.
При каком $C_{1}$ емкости системы конденсаторов, показанной на рисунке равна: а) $C$: б) $kC$ ($k \neq 1$); в) $C_{1}$?
Решение:
Пусть рассматриваемая система конденсаторов присоединена к источнику с напряжением $U$. Из соображений симметрии следует, что заряды конденсаторов емкости $kC$ будут одинаковыми. Обозначим их через $Q$. Аналогично равны заряды $q$ конденсаторов емкости $C$. Заряд конденсатора $C_{1}$ обозначим через $q_{1}$. Расставим произвольно знаки зарядов отдельных обкладок конденсаторов (см. рис.).
Заряд $Q_{x} = Q + q$ системы конденсаторов связан с напряжением $U = U_{2} + U_{3} = \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC}$, приложенным к системе, соотношением $Q_{x} = C_{x}U$, где $C_{x}$ - емкость системы, то есть
$Q + q = C_{x} \left ( \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC} \right )$. (1)
Работа сил электростатического поля по перенесению любого, а значит и единичного, заряда по замкнутой траектории всегда равна нулю. Обойдя, например, верхний контур (см. рис.) против часовой стрелки, получим
$U_{1} - U_{2} + U_{3} = \frac{q_{1} }{C_{1} } - \frac{q}{C} + \frac{q}{kC} = 0$. (2)
Воспользуемся также законом сохранения заряда. Часть системы, показанная на рисунке красным цветом (можно рассмотреть и участок, показанный синим цветом), до присоединения системы к источнику была нейтральном. Так как эта часть изолирована, ее суммарный заряд останется равным нулю:
$q + q_{1} - Q = 0$. (3)
Из уравнений (1)-(3) следует, что
$C_{x} = \frac{2kC + (1 + k)C_{1} }{2C_{1} + (1 + k)C } C$.
Отсюда легко получить, что
a) $C_{x} = C$ при $C_{1} = - C$, что невозможно;
б) $C_{x} = kC$ ($k \neq 1$) при $C_{1} = - kC$, что также невозможно;
b) $C_{x} = C_{1}$ при $C_{1} = \sqrt{k}C$.
