Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11985
2019-12-12 
Змея заползла наполовину в неподвижную узкую трубку лежащую на плоскости. Вторая половина змеи извивается произвольно по плоскости. Считая змею тонким однородным шнуром длины $l$, найти, в какой области может оказаться центу тяжести всей змеи.
Решение:
Центр тяжести той половины змеи, которая находится в труба, расположен на расстоянии от края трубы. Его координаты ($x_{1}, y_{1}$) равны (рис.)
$x_{1} = - \frac{l}{4}$ и $y_{1} = 0$.
Центр тяжести второй половины змеи, произвольно извивающейся по плоскости, может находиться в любой точке внутри круга радиуса $\frac{l}{4}$ с центром в начале координат, то есть его координаты ($x_{2}, y_{2}$) удовлетворяют неравенству
$x_{2}^{2} + y_{2}^{2} \leq \left ( \frac{l}{4} \right )^{2}$. (*)
Так как массы обеих частей змея одинаковы, то координаты центра тяжести всей змеи определяются следующими соотношениями:
$x_{ц} = \frac{x_{1} + x_{2} }{2} = \frac{x_{2} }{2} - \frac{l}{8}, y_{ц} = \frac{y_{1} + y_{2} }{2} = \frac{y_{2} }{2}$.
Выразим из этих равенств $x_{2}$ и $y_{2}$ через $x_{ц}$ и $y_{ц}$ :
$x_{2} = 2x_{ц} + \frac{l}{4}, y_{2} = 2 y_{ц}$.
Подставив эти значения в неравенство (*), получим
$\left ( 2 x_{ц} + \frac{l}{4} \right )^{2} + 4y_{ц}^{2} \leq \left ( \frac{l}{4} \right )^{2}$, или $ \left ( x_{ц} + \frac{l}{8} \right )^{2} + y_{ц}^{2} \leq \left ( \frac{l}{8} \right )^{2} $
Это означает, что центр тяжести всей змеи может находиться в любой точке круга радиуса $\frac{l}{8}$ с центром, координаты которого $x = - \frac{l}{8}$ и $y = 0$ (на рис. этот круг заштрихован).
Змея заползла наполовину в неподвижную узкую трубку лежащую на плоскости. Вторая половина змеи извивается произвольно по плоскости. Считая змею тонким однородным шнуром длины $l$, найти, в какой области может оказаться центу тяжести всей змеи.
Решение:
Центр тяжести той половины змеи, которая находится в труба, расположен на расстоянии от края трубы. Его координаты ($x_{1}, y_{1}$) равны (рис.)
$x_{1} = - \frac{l}{4}$ и $y_{1} = 0$.
Центр тяжести второй половины змеи, произвольно извивающейся по плоскости, может находиться в любой точке внутри круга радиуса $\frac{l}{4}$ с центром в начале координат, то есть его координаты ($x_{2}, y_{2}$) удовлетворяют неравенству
$x_{2}^{2} + y_{2}^{2} \leq \left ( \frac{l}{4} \right )^{2}$. (*)
Так как массы обеих частей змея одинаковы, то координаты центра тяжести всей змеи определяются следующими соотношениями:
$x_{ц} = \frac{x_{1} + x_{2} }{2} = \frac{x_{2} }{2} - \frac{l}{8}, y_{ц} = \frac{y_{1} + y_{2} }{2} = \frac{y_{2} }{2}$.
Выразим из этих равенств $x_{2}$ и $y_{2}$ через $x_{ц}$ и $y_{ц}$ :
$x_{2} = 2x_{ц} + \frac{l}{4}, y_{2} = 2 y_{ц}$.
Подставив эти значения в неравенство (*), получим
$\left ( 2 x_{ц} + \frac{l}{4} \right )^{2} + 4y_{ц}^{2} \leq \left ( \frac{l}{4} \right )^{2}$, или $ \left ( x_{ц} + \frac{l}{8} \right )^{2} + y_{ц}^{2} \leq \left ( \frac{l}{8} \right )^{2} $
Это означает, что центр тяжести всей змеи может находиться в любой точке круга радиуса $\frac{l}{8}$ с центром, координаты которого $x = - \frac{l}{8}$ и $y = 0$ (на рис. этот круг заштрихован).
