ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-12-12   
Фотометр представляет собой лист бумаги с жирным пятном. Этот лист устанавливают между двумя точечными источниками света. Сила света одного источника $I_{1} = 20 св$, силу света другого источника $I_{2}$ требуется определить. Для этого вначале подбирают расстояния $l_{1}$ и $l_{2}$ источников от листа так, чтобы пятно не выделялось на фоне бумаги, если смотреть на него со стороны первого источника. Оказалось, что $l_{2} = 2l_{1}$. Затем подбирают расстояния $l_{1}^{ \prime}$ и $l_{2}^{ \prime}$ так, чтобы пятно не выделялось на фоне бумаги, если смотреть со стороны второго источника. Оказалось, что $l_{1}^{ \prime} = l_{2}^{ \prime} = l$. Определить силу света второго источника.
Лист ставится перпендикулярно линии, соединяющей источники.
Подсказка. Каждый участок бумаги можно охарактеризовать коэффициентом пропускания и коэффициентом отражения света.


Решение:


Пятно не выделяется на фоне бумаги, если световые потоки $\Phi_{п}$ и $\Phi_{б}$, идущие соответственно с единицы площади пятна и чистой бумаги и попадающие в глаз наблюдателя, одинаковы. Бумага и пятно отражают и пропускают падающий на них свет диффузно, то есть равномерно во все стороны. Поэтому очевидно, что световые потоки $\Phi_{п}$ и $\Phi_{б}$ пропорциональны освещенности пятна $E_{п}$ освещенности бумаги $E_{б}$ соответственно.

Если смотреть на пятно со стороны первого источника, то освещенность пятна складывается из освещенности за счет лучей, идущих от первого источника и отраженных пятном -

$E_{1} = r_{п} \frac{I_{1} }{l_{1}^{2} }$

($r_{п}$ - коэффициент отражения света пятном), и освещенности за счет лучей, идущих от второго источника и прошедших через пятно - $E_{2} = \alpha_{п} \frac{I_{2} }{l_{2}^{2} }$ ($\alpha_{п}$ - коэффициент пропускания пятна):

$E_{п} = E_{1} + E_{2} = r_{п} \frac{I_{1} }{l_{1}^{2} } + \alpha_{п} \frac{I_{2} }{l_{2}^{2} }$.

Аналогично, если коэффициент отражения света чистыми участками бумаги равен $r_{б}$, а коэффициент пропускания этими участками равен $\alpha_{б}$, то освещенность чистых участков бумаги равна

$E_{б} = r_{б} \frac{I_{1} }{l_{1}^{2} } + \alpha_{б} \frac{I_{2} }{l_{2}^{2} }$.

Приравнивая $E_{п}$ и $E_{б}$, получим уравнение

$r_{п} \frac{I_{1} }{l_{1}^{2} } + \alpha_{п} \frac{I_{2} }{l_{2}^{2} } = r_{б} \frac{I_{1} }{l_{1}^{2} } + \alpha_{б} \frac{I_{2} }{l_{2}^{2} }$, (1)

или, учитывая, что $l_{2} = 2l_{1}$,

$4 r_{п} l_{1} + \alpha_{п} I_{2} = 4 r_{б} I_{1} + \alpha_{б}I_{2}$. (2)

Таким же образом можно получить условие равенства освещенностей пятна и чистой бумаги дли второго случая, когда на пятно смотрят со стороны второго источника:

$\alpha_{п} \frac{I_{1} }{l_{1}^{ \prime 2} } + r_{п} \frac{I_{2} }{l_{2}^{ \prime 2} } = \alpha_{б} \frac{I_{1} }{l_{1}^{ \prime 2} } + r_{б} \frac{I_{2} }{l_{2}^{ \prime 2} }$. (3)

Так как в этом случае $l_{1}^{ \prime} = l_{2}^{ \prime}$, то

$\alpha_{п}I_{1} + r_{п}I_{2} = \alpha_{б} I_{1} + r_{б}I_{2}$. (4)

В два уравнения (2) и (4) входят пять неизвестных. Определить их все невозможно. Однако можно найти одно из них, а именно $I_{2}$. Для этого перенесем в уравнении (2) члены, содержащие $I_{1}$, в левую часть уравнения, а члены, содержащие $I_{2}$, - в правую часть. Получим

$4 I_{1} (r_{п}- r_{б}) = I_{2}( \alpha_{б} - \alpha_{п})$. (5)

Аналогично поступим с уравнением (4):

$I_{1}( \alpha_{б} - \alpha_{п}) = I_{2}(r_{п} - r_{б})$. (6)

Определив теперь из уравнении (5) отношение $\frac{ \alpha_{б} - \alpha_{п} }{r_{п} - r_{б} }$ и подставив его в уравнение (6), получим

$\frac{4I_{1} }{I_{2} } = \frac{I_{2} }{I_{1} }$, или $I_{2} = 2I_{1} = 40 св$.