Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11983
2019-12-12 
Самолет пролетает с постоянной скоростью $v$ по горизонтальной прямой, проходящей над головой наблюдателя. Какой угол $\alpha$ с вертикалью составляет направление, по которому к наблюдателю доносится звук мотора в тот момент, когда наблюдатель видит самолет в направлении, составляющем угол $\phi$ с вертикалью? Скорость звука $c$. Рассмотреть случаи $v > c$ и $v < c$.
Решение:
Пусть наблюдатель находится в точке О (рис.), видит самолет в точке А и слышит звук, излученный самолетом в тот момент, когда самолет находился в точке В. Обозначим через $t$ время, за которое звук из точки В дошел до наблюдателя, тогда $BO = ct$ и $BA = vt$. Из прямоугольного треугольника $AOK$
$tg \phi = \frac{KB + BA}{KO} = tg \alpha + \frac{vt}{ct \cos \alpha}$. (1)
Возведя равенство (1) в квадрат, обозначив $tg \phi - tg \alpha$ через $x$ и учтя, что $\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha }}$, получим
$x^{2} - 2 \frac{tg \phi}{1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } } x + \frac{1}{ \cos^{2} \phi \left ( 1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } \right ) } = 0$. (2)
Отсюда
$x_{1,2} = \frac{ tg \phi}{1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } } \pm \sqrt{ \frac{tg^{2} \phi }{ \left ( 1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } \right )^{2} } - \frac{1}{ \cos^{2} \phi \left ( 1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } \right ) } }$, (3)
причем уравнению (1) удовлетворяют только положительные значения $x$.
Рассмотрим сначала случай, когда скорость самолета $v$ меньше скорости звука $c$. Так как $\frac{c^{2}}{v^{2}} > 1$, то $x_{1} > 0$ и $x_{2} < 0$, то есть подходит только одно значение $x = x_{1}$. "Слышимый" самолет просто отстает от видимого.
Интереснее результат в случае сверхзвукового самолета ($v > c$). Действительные корни уравнения (2) есть только при $\cos \phi < \frac{c}{v}$, причем положительны сразу оба корня ($tg \phi > 0$). Что это означает ? Разберемся в этом вопросе подробно.
Каждая точка траектории самолета является источником сферической звуковой волны. Огибающая волновых фронтов представляет собой коническую поверхность (рис.), которая движется вперед со скоростью самолета $v$. Впервые наблюдатель услышит звук в тот момент, когда в точку О придет один из волновых фронтов. Если самолет в этот момент будет находиться в точке $A_{0}$, то наблюдатель будет слышать звук, идущий к нему из точки $B_{0}$ (рис.). Из рисунка видно, что $\sin \alpha_{0} = \cos \phi_{0} = \frac{ct}{vt} = \frac{c}{v}$. При удалении самолета угол $\phi$ увеличивается, a $\cos \phi$ - уменьшается (так что, действительно, самолет слышен при углах $\phi$ таких, что $\cos \phi \leq \frac{c}{v}$). Начиная с этого момента, в точку О будут приходить фронты звуковых волн, излученных самолетом в двух разных точках его траектории (рис.). В тот момент, когда самолет находится в точке А, наблюдатель будет слышать звук, который был излучен самолетом в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ (углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ определяются из формулы (3)), то есть теперь уже два волновых фронта проходят через точку О. Таким образом, при удалении самолета от точки $A_{0}$ наблюдателю будет казаться, что из точки движутся в разные стороны два источника звука.
Самолет пролетает с постоянной скоростью $v$ по горизонтальной прямой, проходящей над головой наблюдателя. Какой угол $\alpha$ с вертикалью составляет направление, по которому к наблюдателю доносится звук мотора в тот момент, когда наблюдатель видит самолет в направлении, составляющем угол $\phi$ с вертикалью? Скорость звука $c$. Рассмотреть случаи $v > c$ и $v < c$.
Решение:
Пусть наблюдатель находится в точке О (рис.), видит самолет в точке А и слышит звук, излученный самолетом в тот момент, когда самолет находился в точке В. Обозначим через $t$ время, за которое звук из точки В дошел до наблюдателя, тогда $BO = ct$ и $BA = vt$. Из прямоугольного треугольника $AOK$
$tg \phi = \frac{KB + BA}{KO} = tg \alpha + \frac{vt}{ct \cos \alpha}$. (1)
Возведя равенство (1) в квадрат, обозначив $tg \phi - tg \alpha$ через $x$ и учтя, что $\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha }}$, получим
$x^{2} - 2 \frac{tg \phi}{1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } } x + \frac{1}{ \cos^{2} \phi \left ( 1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } \right ) } = 0$. (2)
Отсюда
$x_{1,2} = \frac{ tg \phi}{1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } } \pm \sqrt{ \frac{tg^{2} \phi }{ \left ( 1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } \right )^{2} } - \frac{1}{ \cos^{2} \phi \left ( 1 - \frac{c^{2} }{v^{2} } \right ) } }$, (3)
причем уравнению (1) удовлетворяют только положительные значения $x$.
Рассмотрим сначала случай, когда скорость самолета $v$ меньше скорости звука $c$. Так как $\frac{c^{2}}{v^{2}} > 1$, то $x_{1} > 0$ и $x_{2} < 0$, то есть подходит только одно значение $x = x_{1}$. "Слышимый" самолет просто отстает от видимого.
Интереснее результат в случае сверхзвукового самолета ($v > c$). Действительные корни уравнения (2) есть только при $\cos \phi < \frac{c}{v}$, причем положительны сразу оба корня ($tg \phi > 0$). Что это означает ? Разберемся в этом вопросе подробно.
Каждая точка траектории самолета является источником сферической звуковой волны. Огибающая волновых фронтов представляет собой коническую поверхность (рис.), которая движется вперед со скоростью самолета $v$. Впервые наблюдатель услышит звук в тот момент, когда в точку О придет один из волновых фронтов. Если самолет в этот момент будет находиться в точке $A_{0}$, то наблюдатель будет слышать звук, идущий к нему из точки $B_{0}$ (рис.). Из рисунка видно, что $\sin \alpha_{0} = \cos \phi_{0} = \frac{ct}{vt} = \frac{c}{v}$. При удалении самолета угол $\phi$ увеличивается, a $\cos \phi$ - уменьшается (так что, действительно, самолет слышен при углах $\phi$ таких, что $\cos \phi \leq \frac{c}{v}$). Начиная с этого момента, в точку О будут приходить фронты звуковых волн, излученных самолетом в двух разных точках его траектории (рис.). В тот момент, когда самолет находится в точке А, наблюдатель будет слышать звук, который был излучен самолетом в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ (углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ определяются из формулы (3)), то есть теперь уже два волновых фронта проходят через точку О. Таким образом, при удалении самолета от точки $A_{0}$ наблюдателю будет казаться, что из точки движутся в разные стороны два источника звука.
