Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11982
2019-12-12 
На рисунке изображена схема теплового ваттметра ($r_{1} \ll r, r_{1} \ll R_{н}$). Тонкая проволока AB, накаливаемая током, перекинута через блок, оттягиваемый кверху пружинкой. К блоку прикреплена стрелка, которая поворачивается при повороте блока. Показать, что поворот стрелки прибора прямо пропорционален мощности тока $P$, потребляемой нагрузкой ($R_{н}$).
Считать, что: 1) количество тепла, которое отдает нагретая проволока окружающей среде, пропорционально разности температур проволоки и среды; 2) изменение сопротивлений участков проволоки АВ из-за удлинения и изменения их температуры пренебрежимо мало.
Решение:
Угол поворота стрелки прибора пропорционален разности удлинений участков проволоки АС и СВ. Эти удлинения определяются токами, идущими по соответствующим участкам.
Обозначим через $I_{0}$ ток, текущий по нагрузке $R_{н}$ и свяжем с ним токи $I_{1}$ и $I_{2}$, текущие то участкам СВ и АС. Перерисуем электрическую схему подключения ваттметра, как показано на рисунке. Поскольку сопротивление проволоки много меньше сопротивления $r$, будем считать, что сопротивления участков АС и СВ этой проволоки включены в значения $r$, так что сопротивления участков цепи DC и КС равны $r$.
Так как напряжения на сопротивлении $R_{н}$ и на сопротивлении $r$ участка КС равны, то
$I_{0}R_{н} = I_{1}r$, или $I_{1 } = i_{0} \frac{R_{н} }{r}$.
Ток $I_{2} = \frac{U_{DC} }{r}$, где $U_{DC}$ - напряжение на участке DС. Оно равно $U_{DC} = U_{KC} + I_{3}r_{1}$, где $U_{KC} = I_{0}R_{н}$, а
$I_{3} = I_{0} + I_{1} = I_{0} \left ( 1 + \frac{R_{н} }{r} \right )$.
Тогда
$I_{2} = I_{0} \left ( \frac{R_{н}r_{1} }{r^{2} } + \frac{r_{1} }{r} + \frac{R_{н} }{r} \right )$.
Посмотрим теперь, как связано удлинение проволоки с током, который идет по этой проволоке. При тепловом равновесии количество тепла, выделяющееся в проволоке, равно количеству тепла, которое отдается среде:
$I^{2}R = k \Delta t$,
где $\Delta t$ - разность температур проволоки и среды, $R$ - сопротивление половины проволоки и $k$ - коэффициент пропорциональности. С другой стороны, увеличение длины проволоки происходит по закону
$l = l_{0} (1 + \alpha \Delta t)$,
где $\alpha$ - коэффициент теплового расширения проволоки. Из последних двух равенств
$\Delta l = l_{0} \alpha \Delta t = \frac{I^{2}R }{k} l_{0} \alpha = k_{1}I^{2}$
($k_{1} = l_{0} \alpha \frac{R}{k}$), то есть удлинение проволоки пропорционально квадрату силы тока. Это означает что удлинение участка СВ проволоки $\Delta l_{1} \sim I_{1}^{2}$, и участка AC проволоки $\Delta l_{2} \sim I_{2}^{2}$>
Таким образом, угол поворота стрелки прибора, связанный с разностью удлинений участков АС и СВ, пропорционален величине
$I_{2}^{2} - I_{1}^{2} = I_{0}^{2} \left ( \frac{r_{1}^{2} }{r^{2} } + \frac{r_{1}^{2} }{r^{2} } \frac{R_{н}^{2} }{r^{2} } + 2 \frac{r_{1}^{2} }{r^{2} } \frac{R_{н} }{r} + 2 \frac{r_{1} }{r} \frac{R_{н}^{2} }{r^{2} } + 2 \frac{R_{н} }{r} \frac{r_{1} }{r} \right )$.
Так как $r_{1} \ll r$, то $\frac{r_{1} }{r} \ll 1$ и можно пренебречь первым, вторым и третьим членами по сравнению с четвертым и пятым. Кроме того, для того чтобы подключение ваттметра практически не влияло на напряжение на нагрузке, $r$ должно быть много больше $R_{н}$. Это означает, что $\frac{R_{н} }{r} \ll 1$ и $\left ( \frac{R_{н} }{r} \right )^{2} \ll \frac{R_{н} }{r}$, так что можно пренебречь четвертым членом по сравнению с пятым. В результате получим
$I_{2}^{2} - I_{1}^{2} = 2I_{0}^{2} R_{н} \frac{r_{1} }{r^{2} } = 2 \frac{r_{1} }{r^{2} }P$,
то есть разность $l_{2}^{2} - l_{1}^{2}$ пропорциональна мощности, выделяющейся на нагрузке. Следовательно, разность удлинений частей проволоки и, соответственно, угол поворота стрелки прибора пропорциональны мощности тока, потребляемой нагрузкой.
На рисунке изображена схема теплового ваттметра ($r_{1} \ll r, r_{1} \ll R_{н}$). Тонкая проволока AB, накаливаемая током, перекинута через блок, оттягиваемый кверху пружинкой. К блоку прикреплена стрелка, которая поворачивается при повороте блока. Показать, что поворот стрелки прибора прямо пропорционален мощности тока $P$, потребляемой нагрузкой ($R_{н}$).
Считать, что: 1) количество тепла, которое отдает нагретая проволока окружающей среде, пропорционально разности температур проволоки и среды; 2) изменение сопротивлений участков проволоки АВ из-за удлинения и изменения их температуры пренебрежимо мало.
Решение:
Угол поворота стрелки прибора пропорционален разности удлинений участков проволоки АС и СВ. Эти удлинения определяются токами, идущими по соответствующим участкам.
Обозначим через $I_{0}$ ток, текущий по нагрузке $R_{н}$ и свяжем с ним токи $I_{1}$ и $I_{2}$, текущие то участкам СВ и АС. Перерисуем электрическую схему подключения ваттметра, как показано на рисунке. Поскольку сопротивление проволоки много меньше сопротивления $r$, будем считать, что сопротивления участков АС и СВ этой проволоки включены в значения $r$, так что сопротивления участков цепи DC и КС равны $r$.
Так как напряжения на сопротивлении $R_{н}$ и на сопротивлении $r$ участка КС равны, то
$I_{0}R_{н} = I_{1}r$, или $I_{1 } = i_{0} \frac{R_{н} }{r}$.
Ток $I_{2} = \frac{U_{DC} }{r}$, где $U_{DC}$ - напряжение на участке DС. Оно равно $U_{DC} = U_{KC} + I_{3}r_{1}$, где $U_{KC} = I_{0}R_{н}$, а
$I_{3} = I_{0} + I_{1} = I_{0} \left ( 1 + \frac{R_{н} }{r} \right )$.
Тогда
$I_{2} = I_{0} \left ( \frac{R_{н}r_{1} }{r^{2} } + \frac{r_{1} }{r} + \frac{R_{н} }{r} \right )$.
Посмотрим теперь, как связано удлинение проволоки с током, который идет по этой проволоке. При тепловом равновесии количество тепла, выделяющееся в проволоке, равно количеству тепла, которое отдается среде:
$I^{2}R = k \Delta t$,
где $\Delta t$ - разность температур проволоки и среды, $R$ - сопротивление половины проволоки и $k$ - коэффициент пропорциональности. С другой стороны, увеличение длины проволоки происходит по закону
$l = l_{0} (1 + \alpha \Delta t)$,
где $\alpha$ - коэффициент теплового расширения проволоки. Из последних двух равенств
$\Delta l = l_{0} \alpha \Delta t = \frac{I^{2}R }{k} l_{0} \alpha = k_{1}I^{2}$
($k_{1} = l_{0} \alpha \frac{R}{k}$), то есть удлинение проволоки пропорционально квадрату силы тока. Это означает что удлинение участка СВ проволоки $\Delta l_{1} \sim I_{1}^{2}$, и участка AC проволоки $\Delta l_{2} \sim I_{2}^{2}$>
Таким образом, угол поворота стрелки прибора, связанный с разностью удлинений участков АС и СВ, пропорционален величине
$I_{2}^{2} - I_{1}^{2} = I_{0}^{2} \left ( \frac{r_{1}^{2} }{r^{2} } + \frac{r_{1}^{2} }{r^{2} } \frac{R_{н}^{2} }{r^{2} } + 2 \frac{r_{1}^{2} }{r^{2} } \frac{R_{н} }{r} + 2 \frac{r_{1} }{r} \frac{R_{н}^{2} }{r^{2} } + 2 \frac{R_{н} }{r} \frac{r_{1} }{r} \right )$.
Так как $r_{1} \ll r$, то $\frac{r_{1} }{r} \ll 1$ и можно пренебречь первым, вторым и третьим членами по сравнению с четвертым и пятым. Кроме того, для того чтобы подключение ваттметра практически не влияло на напряжение на нагрузке, $r$ должно быть много больше $R_{н}$. Это означает, что $\frac{R_{н} }{r} \ll 1$ и $\left ( \frac{R_{н} }{r} \right )^{2} \ll \frac{R_{н} }{r}$, так что можно пренебречь четвертым членом по сравнению с пятым. В результате получим
$I_{2}^{2} - I_{1}^{2} = 2I_{0}^{2} R_{н} \frac{r_{1} }{r^{2} } = 2 \frac{r_{1} }{r^{2} }P$,
то есть разность $l_{2}^{2} - l_{1}^{2}$ пропорциональна мощности, выделяющейся на нагрузке. Следовательно, разность удлинений частей проволоки и, соответственно, угол поворота стрелки прибора пропорциональны мощности тока, потребляемой нагрузкой.
