Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11981
2019-12-12 
В сосуд с водой опускают Г-образный стеклянный капилляр радиуса $r$, полностью смачиваемый водой (рис.). Зависимости коэффициента поверхностного натяжения воды от температуры показана на рисунке. В каком диапазоне температур вся вода вытечет из сосуда, если $r = 0,1 мм, h = 14,1 см$ и $H = 15 см$? Толщиной стенок капилляра пренебречь.
Решение:
Для того чтобы вода вытекла из сосуда через капилляр, она должна, прежде всего, подняться по правому колену капилляра до его горизонтального участка. В начальный момент высота поднятия должна быть равна $h$, а в конце, когда почти вся вода уже вытечет из сосуда, жидкость должна подняться на высоту $h + l$, где $l$ - высота начального уровня воды в сосуде. Это возможно, если коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ таков, что высота поднятия води в капилляре радиуса $r$ не меньше $h = l$, то есть
$\frac{2 \sigma}{ \rho gr} > h + l$, или $\sigma > \frac{1}{2} \rho gr (h + l)$.
Поднявшись в правом колене, вода заполнит левое колено, на конце которого образуется выпуклый мениск, могущий удержать определенный столб воды. Вода в верхней части капилляра (от его горизонтального участка до уровня воды в сосуде) находится в равновесии, поэтому силы добавочного давления под мениском должны удержать столб воды высотой $H + l$ в начальный момент и высотой $H$ - в конечный момент. Радиус мениска не может быть меньше радиуса капилляра $r$, а значит, добавочное давление под мениском не может быть больше $\frac{2 \sigma }{r}$. Следовательно, вода будет вытекать из капилляра, если гидростатическое давление окажется больше добавочного, то есть
$\rho g(H + l) > \frac{2 \sigma }{r}$, или $\sigma < \frac{1}{2} \rho gr (H + l)$.
Таким образом, из сосуда через капилляр вытечет вся вода, если
$\frac{1}{2} \rho gr (h + l) < \sigma < \frac{1}{2} \rho gr (H + l)$,
или
$\frac{1}{2} \rho grh < \sigma < \frac{1}{2} \rho grH$.
Для того чтобы перейти от диапазона значений коэффициента поверхностного натяжения к диапазону температур, воспользуемся графиком, приведенным на рисунке. Из графика видно, что зависимость $\sigma$ от $Y$ линейная, то есть
$\sigma = \sigma_{0} + \alpha T$, (*)
где $\sigma_{0} = 76 дин/см$. При температуре $T = 20^{ \circ} С = 73 дин/см$, следовательно.
$73 дин/см = 76 дин/см + \alpha \cdot 20 \: град$,
откуда
$\alpha = - 0,15 дин/(см \cdot град)$.
Граничные значения диапазона $\sigma$ равны
$\sigma_{min} = \frac{1}{2} \rho grh = 70,5 дин/см$,
$\sigma_{max} = \frac{1}{2} \rho grH = 75 дин/см$.
Теперь запишем уравнение (*) для температур $T_{max}$ соответствующих значениям $T_{ min}$, соответствующих значениями $\sigma_{min}$ и $\sigma_{max}$:
$70,5 = 76 - 0,15 T_{max}$,
$75 = 76 - 0,15 T_{min}$.
Отсюда
$T_{max} \approx 36,7^{ \circ} C$ и $T_{min} \approx 6,7^{ \circ} C$.
Итак, вся вода вытечет из сосуда через капилляр, если
$6,7^{ \circ} С < T < 36,7^{ \circ} С$.
В сосуд с водой опускают Г-образный стеклянный капилляр радиуса $r$, полностью смачиваемый водой (рис.). Зависимости коэффициента поверхностного натяжения воды от температуры показана на рисунке. В каком диапазоне температур вся вода вытечет из сосуда, если $r = 0,1 мм, h = 14,1 см$ и $H = 15 см$? Толщиной стенок капилляра пренебречь.
Решение:
Для того чтобы вода вытекла из сосуда через капилляр, она должна, прежде всего, подняться по правому колену капилляра до его горизонтального участка. В начальный момент высота поднятия должна быть равна $h$, а в конце, когда почти вся вода уже вытечет из сосуда, жидкость должна подняться на высоту $h + l$, где $l$ - высота начального уровня воды в сосуде. Это возможно, если коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ таков, что высота поднятия води в капилляре радиуса $r$ не меньше $h = l$, то есть
$\frac{2 \sigma}{ \rho gr} > h + l$, или $\sigma > \frac{1}{2} \rho gr (h + l)$.
Поднявшись в правом колене, вода заполнит левое колено, на конце которого образуется выпуклый мениск, могущий удержать определенный столб воды. Вода в верхней части капилляра (от его горизонтального участка до уровня воды в сосуде) находится в равновесии, поэтому силы добавочного давления под мениском должны удержать столб воды высотой $H + l$ в начальный момент и высотой $H$ - в конечный момент. Радиус мениска не может быть меньше радиуса капилляра $r$, а значит, добавочное давление под мениском не может быть больше $\frac{2 \sigma }{r}$. Следовательно, вода будет вытекать из капилляра, если гидростатическое давление окажется больше добавочного, то есть
$\rho g(H + l) > \frac{2 \sigma }{r}$, или $\sigma < \frac{1}{2} \rho gr (H + l)$.
Таким образом, из сосуда через капилляр вытечет вся вода, если
$\frac{1}{2} \rho gr (h + l) < \sigma < \frac{1}{2} \rho gr (H + l)$,
или
$\frac{1}{2} \rho grh < \sigma < \frac{1}{2} \rho grH$.
Для того чтобы перейти от диапазона значений коэффициента поверхностного натяжения к диапазону температур, воспользуемся графиком, приведенным на рисунке. Из графика видно, что зависимость $\sigma$ от $Y$ линейная, то есть
$\sigma = \sigma_{0} + \alpha T$, (*)
где $\sigma_{0} = 76 дин/см$. При температуре $T = 20^{ \circ} С = 73 дин/см$, следовательно.
$73 дин/см = 76 дин/см + \alpha \cdot 20 \: град$,
откуда
$\alpha = - 0,15 дин/(см \cdot град)$.
Граничные значения диапазона $\sigma$ равны
$\sigma_{min} = \frac{1}{2} \rho grh = 70,5 дин/см$,
$\sigma_{max} = \frac{1}{2} \rho grH = 75 дин/см$.
Теперь запишем уравнение (*) для температур $T_{max}$ соответствующих значениям $T_{ min}$, соответствующих значениями $\sigma_{min}$ и $\sigma_{max}$:
$70,5 = 76 - 0,15 T_{max}$,
$75 = 76 - 0,15 T_{min}$.
Отсюда
$T_{max} \approx 36,7^{ \circ} C$ и $T_{min} \approx 6,7^{ \circ} C$.
Итак, вся вода вытечет из сосуда через капилляр, если
$6,7^{ \circ} С < T < 36,7^{ \circ} С$.
