Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11980
2019-12-12 
Насос подает массу $m$ воды в час на высоту $H$ по трубе диаметром $d$. Какова должна быть мощность насоса $N$? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать массу $m$ воды в час на высоту $H$?
Решение:
За время $\Delta t$ насос подает на высоту $H$ массу воды $m \Delta t$, совершая работу $A$, равную изменению механической энергии воды. Так как внизу вода не обладала кинетической энергией, а насос "гонят" ее по трубе с некоторой скоростью $v$, то
$A = \frac{(m \Delta t) v^{2}}{2} + (mg \Delta l) gH$.
Следовательно, мощность насоса $N = \frac{mv^{2} }{2} + mgH$.
Найдем скорость $v$. За время $\Delta t$ через поперечное сечение трубы площади $S = \frac{ \pi d^{2} }{4}$ проходит объем воды $V = v \Delta t \frac{ \pi d^{2} }{4}$, масса которой равна $v \Delta t \frac{ \pi d^{2} }{4} \rho$ ($ \rho$ - плотность воды). С другой стороны, эта масса равна $m \Delta t$, то есть $v \frac{ \pi d^{2} }{4} \rho = m$, откуда $v = \frac{4m}{ \pi d^{2} \rho}$.
Таким образом. Мощность насоса
$N = \frac{8 m^{3} }{ \pi^{2} d^{4} \rho^{2} } + mgH$.
Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать такую же массу воды в час на ту же высоту $H$? Из выражения для $N$ видно, что чем больше диаметр трубы $d$, тем меньше необходимая мощность насоса.
Но можно уменьшить величину необходимой мощности, не меняя значений параметров, заданных в условии задачи. Отрежем на некоторой высоте $h \ll H$ всю верхнюю часть трубы. Пусть из оставшейся части трубы вода вылетает с некоторой скоростью $u$ (см. рис.)
Необходимая для этого мощность насоса $N^{ \prime} = \frac{mu^{2} }{2}$ (так как $h \ll H$, потенциальной энергией $mgh$ пренебрегаем). Для того чтобы вода поднималась на высоту $H$, необходимо, чтобы ее скорость при вылете из трубы была не меньше, чем $u = \sqrt{2gH}$. Таким обратим, можно подавать в час массу воды $m$ на высоту $H$ с помощью насоса мощностью
$N^{ \prime} = m \frac{u^{2} }{2} = mgH < N$.
Насос подает массу $m$ воды в час на высоту $H$ по трубе диаметром $d$. Какова должна быть мощность насоса $N$? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать массу $m$ воды в час на высоту $H$?
Решение:
За время $\Delta t$ насос подает на высоту $H$ массу воды $m \Delta t$, совершая работу $A$, равную изменению механической энергии воды. Так как внизу вода не обладала кинетической энергией, а насос "гонят" ее по трубе с некоторой скоростью $v$, то
$A = \frac{(m \Delta t) v^{2}}{2} + (mg \Delta l) gH$.
Следовательно, мощность насоса $N = \frac{mv^{2} }{2} + mgH$.
Найдем скорость $v$. За время $\Delta t$ через поперечное сечение трубы площади $S = \frac{ \pi d^{2} }{4}$ проходит объем воды $V = v \Delta t \frac{ \pi d^{2} }{4}$, масса которой равна $v \Delta t \frac{ \pi d^{2} }{4} \rho$ ($ \rho$ - плотность воды). С другой стороны, эта масса равна $m \Delta t$, то есть $v \frac{ \pi d^{2} }{4} \rho = m$, откуда $v = \frac{4m}{ \pi d^{2} \rho}$.
Таким образом. Мощность насоса
$N = \frac{8 m^{3} }{ \pi^{2} d^{4} \rho^{2} } + mgH$.
Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать такую же массу воды в час на ту же высоту $H$? Из выражения для $N$ видно, что чем больше диаметр трубы $d$, тем меньше необходимая мощность насоса.
Но можно уменьшить величину необходимой мощности, не меняя значений параметров, заданных в условии задачи. Отрежем на некоторой высоте $h \ll H$ всю верхнюю часть трубы. Пусть из оставшейся части трубы вода вылетает с некоторой скоростью $u$ (см. рис.)
Необходимая для этого мощность насоса $N^{ \prime} = \frac{mu^{2} }{2}$ (так как $h \ll H$, потенциальной энергией $mgh$ пренебрегаем). Для того чтобы вода поднималась на высоту $H$, необходимо, чтобы ее скорость при вылете из трубы была не меньше, чем $u = \sqrt{2gH}$. Таким обратим, можно подавать в час массу воды $m$ на высоту $H$ с помощью насоса мощностью
$N^{ \prime} = m \frac{u^{2} }{2} = mgH < N$.
