Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11976
2019-12-12 
Найти, на какую высоту поднимается жидкость в расширяющемся и суживающемся конических капиллярах. Смачивание полное. Угол при вершине конуса, который образует капилляр равен $2 \alpha$. Этот угол считать малым. Коэффициент, поверхностного натяжения жидкости $\sigma$.
Решение:
Так как смачивание полное, то свободная поверхность жидкости в капилляре представляет собой часть сферической поверхности, вписанной в конус. Радиус этой сферы $R$ равен $r \cos \alpha$, где $r$ - радиус капилляра на той высоте, до которой поднимается жидкость (рис.). Под вогнутой сферической поверхностью радиуса $R$ давление в жидкости меньше атмосферного на величину $p_{д} = \frac{2 \sigma}{R} = \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r}$ и равно $p = p_{0} - p_{д} = p_{0} - \frac{2 \sigma \cos \alpha }{r}$. На уровне поверхности жидкости в широком сосуде давление в капилляре равно $p + \rho gh$ и, очевидно, равно атмосферному давлению $p_{a}$. Следовательно,
$p_{a} - \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r} - \rho gh = p_{0}$, или $\rho gh = \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r}$. (1)
Обозначим через $r_{0}$ радиус капилляра на уровне поверхности жидкости в широком сосуде. Тогда $r = r_{0} + h tg \alpha$ в случае расширяющегося капилляра и $r = r_{0} - h tg \alpha$ при суживающемся капилляре. Или, для обоих случаев $r = r_{0} + kh tg \alpha$, где $k = 1$ для расширяющегося капилляра и $k = - 1$ для суживающегося капилляра. Учитывая это. перепишем (1) в виде
$\rho gh = \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r_{0} + kh tg \alpha }$. (2)
При $\alpha = 0$ это уравнение дает известный результат $h = \frac{2 \sigma}{ \rho gr_{0} }$. Если $\alpha$ не равно нулю, то из (2) непосредственно получаем квадратное уравнение
$k \rho g tg \alpha h^{2} + \rho gr_{0}h - 2 \sigma \cos \alpha = 0$. (3)
Решая это уравнение, найдем
$h_{1,2} = \frac{- \rho gr_{0} \pm \sqrt{ ( \rho gr_{0} )^{2} + 8 k \rho g \sigma \sin \alpha } }{2 k \rho g tg \alpha}$ (4)
В случае расширяющегося капилляра (при $k = 1$) имеется только одно положительное значение корня уравнения (3):
$h = \frac{- r_{0} + \sqrt{ r_{0}^{2} + 8 \sigma \sin \alpha / \rho g } }{2tg \alpha}$
До такой высоты и поднимется жидкость в расширяющемся капилляре.
В случае суживающегося капилляра ($k = - 1$), если $\rho gr_{0}^{2} > 8 \sigma \sin \alpha$, оба корня могут быть положительными и поэтому необходимо исследовать ответ более подробно. Для этого вернемся к уравнению (2). Выражение в левой части уравнения - это гидростатическое давление столба жидкости высоты $h$; обозначим его $\rho_{г}$. Выражение в правой части - это добавочное, "поддерживающее" давление $p_{д}$, возникающее благодаря действию сил поверхностного натяжения. Нарисуем на одном чертеже графики зависимости $p_{г}$ и $p_{д}$ от $h$ (рис.). Точки пересечения графикой соответствуют найденным значениям $h_{1}$ и $h_{2}$, то есть положениям равновесия жидкости в капилляре. Рассмотрим оба эти положения. Пусть $h = h_{1}$ и по каким-то случайным причинам уровень жидкости немного увеличился. В этом случае $\rho_{д}$ увеличится меньше, чем $p_{г}$, следовательно, поверхность жидкости опустится, вернувшись к уровню с $h = h_{1}$. При уменьшении $h$ $p_{д}$ уменьшится меньше, чем $p_{г}$, благодаря чему уровень жидкости увеличится. Это означает, что положение равновесия
$h = h_{1} = \frac{r_{0} - \sqrt{r_{0}^{2} - 8 \sigma \sin \alpha / \rho g } }{2 tg \alpha}$
является устойчивым. Точно так же, рассматривая положение равновесия $h = h_{2}$, можно показать, что оно является неустойчивым. При случайном уменьшении уровня жидкости он будет продолжать уменьшаться до $h_{1}$, а при увеличении $h$ - увеличиваться до верхней границы капилляра.
При $\rho g r_{0}^{2} = 8 \sigma \sin \alpha$ имеется только одно значение корня, графики $p_{г}$ и $p_{д}$ (пунктирная линия на рисунке) касаются в точке $h = \frac{r_{0} }{2 tg \alpha}$.
В этом случае положение равновесия жидкости неустойчиво, и при случайном малом увеличении уровня жидкости он будет подниматься до границы капилляра. При $\rho gr_{0}^{2} < 8 \sigma \sin \alpha$ положения равновесия вообще отсутствуют, и жидкость обязательно поднимется до верха капилляра.
Найти, на какую высоту поднимается жидкость в расширяющемся и суживающемся конических капиллярах. Смачивание полное. Угол при вершине конуса, который образует капилляр равен $2 \alpha$. Этот угол считать малым. Коэффициент, поверхностного натяжения жидкости $\sigma$.
Решение:
Так как смачивание полное, то свободная поверхность жидкости в капилляре представляет собой часть сферической поверхности, вписанной в конус. Радиус этой сферы $R$ равен $r \cos \alpha$, где $r$ - радиус капилляра на той высоте, до которой поднимается жидкость (рис.). Под вогнутой сферической поверхностью радиуса $R$ давление в жидкости меньше атмосферного на величину $p_{д} = \frac{2 \sigma}{R} = \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r}$ и равно $p = p_{0} - p_{д} = p_{0} - \frac{2 \sigma \cos \alpha }{r}$. На уровне поверхности жидкости в широком сосуде давление в капилляре равно $p + \rho gh$ и, очевидно, равно атмосферному давлению $p_{a}$. Следовательно,
$p_{a} - \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r} - \rho gh = p_{0}$, или $\rho gh = \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r}$. (1)
Обозначим через $r_{0}$ радиус капилляра на уровне поверхности жидкости в широком сосуде. Тогда $r = r_{0} + h tg \alpha$ в случае расширяющегося капилляра и $r = r_{0} - h tg \alpha$ при суживающемся капилляре. Или, для обоих случаев $r = r_{0} + kh tg \alpha$, где $k = 1$ для расширяющегося капилляра и $k = - 1$ для суживающегося капилляра. Учитывая это. перепишем (1) в виде
$\rho gh = \frac{2 \sigma \cos \alpha}{r_{0} + kh tg \alpha }$. (2)
При $\alpha = 0$ это уравнение дает известный результат $h = \frac{2 \sigma}{ \rho gr_{0} }$. Если $\alpha$ не равно нулю, то из (2) непосредственно получаем квадратное уравнение
$k \rho g tg \alpha h^{2} + \rho gr_{0}h - 2 \sigma \cos \alpha = 0$. (3)
Решая это уравнение, найдем
$h_{1,2} = \frac{- \rho gr_{0} \pm \sqrt{ ( \rho gr_{0} )^{2} + 8 k \rho g \sigma \sin \alpha } }{2 k \rho g tg \alpha}$ (4)
В случае расширяющегося капилляра (при $k = 1$) имеется только одно положительное значение корня уравнения (3):
$h = \frac{- r_{0} + \sqrt{ r_{0}^{2} + 8 \sigma \sin \alpha / \rho g } }{2tg \alpha}$
До такой высоты и поднимется жидкость в расширяющемся капилляре.
В случае суживающегося капилляра ($k = - 1$), если $\rho gr_{0}^{2} > 8 \sigma \sin \alpha$, оба корня могут быть положительными и поэтому необходимо исследовать ответ более подробно. Для этого вернемся к уравнению (2). Выражение в левой части уравнения - это гидростатическое давление столба жидкости высоты $h$; обозначим его $\rho_{г}$. Выражение в правой части - это добавочное, "поддерживающее" давление $p_{д}$, возникающее благодаря действию сил поверхностного натяжения. Нарисуем на одном чертеже графики зависимости $p_{г}$ и $p_{д}$ от $h$ (рис.). Точки пересечения графикой соответствуют найденным значениям $h_{1}$ и $h_{2}$, то есть положениям равновесия жидкости в капилляре. Рассмотрим оба эти положения. Пусть $h = h_{1}$ и по каким-то случайным причинам уровень жидкости немного увеличился. В этом случае $\rho_{д}$ увеличится меньше, чем $p_{г}$, следовательно, поверхность жидкости опустится, вернувшись к уровню с $h = h_{1}$. При уменьшении $h$ $p_{д}$ уменьшится меньше, чем $p_{г}$, благодаря чему уровень жидкости увеличится. Это означает, что положение равновесия
$h = h_{1} = \frac{r_{0} - \sqrt{r_{0}^{2} - 8 \sigma \sin \alpha / \rho g } }{2 tg \alpha}$
является устойчивым. Точно так же, рассматривая положение равновесия $h = h_{2}$, можно показать, что оно является неустойчивым. При случайном уменьшении уровня жидкости он будет продолжать уменьшаться до $h_{1}$, а при увеличении $h$ - увеличиваться до верхней границы капилляра.
При $\rho g r_{0}^{2} = 8 \sigma \sin \alpha$ имеется только одно значение корня, графики $p_{г}$ и $p_{д}$ (пунктирная линия на рисунке) касаются в точке $h = \frac{r_{0} }{2 tg \alpha}$.
В этом случае положение равновесия жидкости неустойчиво, и при случайном малом увеличении уровня жидкости он будет подниматься до границы капилляра. При $\rho gr_{0}^{2} < 8 \sigma \sin \alpha$ положения равновесия вообще отсутствуют, и жидкость обязательно поднимется до верха капилляра.
