Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11972
2019-12-12 
Каждый из $k$ различных конденсаторов с емкостями $C_{1}, C_{2}, \cdots , C_{k}$ заряжен до разности потенциалов $U$. Затем все конденсаторы соединены последовательно разноименными полюсами в замкнутую цепь. Найти напряжение на каждом конденсаторе в этой цепи.
Решение:
До соединения конденсаторов в цепь их заряды были
$q_{1} = C_{1}U, q_{2} = C_{2}U, \cdots, q_{i} = C_{i}U , \cdots, q_{k} = C_{k} U$.
Обозначим заряды конденсаторов после соединения в цепь соответственно через $q_{1}^{ \prime}, q_{2}^{ \prime}, \cdots, q_{k}^{ \prime}$. Распределение зарядов на пластинах конденсаторов будет таким, как показано на рисунке. Из закона сохранения заряда следует, что сумма зарядов соединенных друг с другом пластин соседних конденсаторов (один из таких участков цепи выделен на рисунке пунктирной линией) должна быть равна суммарному заряду, который был на этих пластиках до соединения конденсаторов. То есть (с учетом знаков зарядов)
$q_{2}^{ \prime} - q_{1}^{ \prime} = q_{2} - q_{1} = (C_{2} - C_{1} )U$,
$q_{3}^{ \prime} - q_{2}^{ \prime} = q_{3} - q_{2} = (C_{3} - C_{2} )U$, (*)
$\cdots \cdots$
$q_{k}^{ \prime} - q_{k-1}^{ \prime} = q_{k} - q_{k-1} = (C_{k} - C_{k-1} )U$,
Кроме того, работа по перенесению заряда вдоль замкнутого контура в электростатическом поле равна нулю поэтому равна нулю сумма напряжений на отдельных конденсаторах:
$U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{k} = 0$, или
$\frac{q_{1}^{ \prime}}{C_{1} } + \frac{q_{2}^{ \prime} }{C_{2} } + \cdots + \frac{q_{k} }{C_{k} } = 0$. (**)
Из системы уравнений (*) и (**) определим новые заряды конденсаторов, а потом и напряжения на них. Прежде всего, выразим все заряды через заряд первого конденсатора. Из первого уравнения системы (*) следует, что $q_{2}^{ \prime} = q_{1}^{ \prime} + (C_{2} - C_{1})U$. Сложив первое и второе уравнения системы (*). получим $q_{3}^{ \prime} = q_{1}^{ \prime} + (C_{3} - C_{1})U$.
Аналогично, дай заряда $i$-го конденсатора получим Я
$q_{i}^{ \prime} = q_{2}^{ \prime} + (C_{i} - C_{1})U$.
Подставим полученные выражения и уравнение (**):
$\frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{1} } + \left [ \frac{q_{2}^{ \prime} }{C_{2} } + \left ( 1 - \frac{C_{1} }{C_{2} } \right ) U \right ] + \cdots + \left [ \frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{k} } + \left ( 1 - \frac{C_{1} }{C_{k} } \right ) U \right ] = 0$
или
$q_{1}^{ \prime} \left ( \right ) + kU - C_{1}U \left ( \right ) = 0$.
Отсюда $q_{1}^{ \prime} = (C_{1} - kC_{0})U$, где $C_{0}$ - емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов
$\frac{1}{C_{0}} = \frac{1}{C_{1} } + \frac{1}{C_{2} } + \cdots + \frac{1}{C_{k} }$.
Так как $q_{i}^{ \prime} = (C_{1} - kC_{0})U + (C_{i} - C_{1})U = (C_{i} - kC_{0} )U$.
Это означает, что напряжение на $i$-м конденсаторе равно
$U_{i}^{ \prime} = \frac{q_{i}^{ \prime} }{C_{i} } = \left ( 1 - k \frac{C_{0} }{C_{i} } \right ) U$.
Каждый из $k$ различных конденсаторов с емкостями $C_{1}, C_{2}, \cdots , C_{k}$ заряжен до разности потенциалов $U$. Затем все конденсаторы соединены последовательно разноименными полюсами в замкнутую цепь. Найти напряжение на каждом конденсаторе в этой цепи.
Решение:
До соединения конденсаторов в цепь их заряды были
$q_{1} = C_{1}U, q_{2} = C_{2}U, \cdots, q_{i} = C_{i}U , \cdots, q_{k} = C_{k} U$.
Обозначим заряды конденсаторов после соединения в цепь соответственно через $q_{1}^{ \prime}, q_{2}^{ \prime}, \cdots, q_{k}^{ \prime}$. Распределение зарядов на пластинах конденсаторов будет таким, как показано на рисунке. Из закона сохранения заряда следует, что сумма зарядов соединенных друг с другом пластин соседних конденсаторов (один из таких участков цепи выделен на рисунке пунктирной линией) должна быть равна суммарному заряду, который был на этих пластиках до соединения конденсаторов. То есть (с учетом знаков зарядов)
$q_{2}^{ \prime} - q_{1}^{ \prime} = q_{2} - q_{1} = (C_{2} - C_{1} )U$,
$q_{3}^{ \prime} - q_{2}^{ \prime} = q_{3} - q_{2} = (C_{3} - C_{2} )U$, (*)
$\cdots \cdots$
$q_{k}^{ \prime} - q_{k-1}^{ \prime} = q_{k} - q_{k-1} = (C_{k} - C_{k-1} )U$,
Кроме того, работа по перенесению заряда вдоль замкнутого контура в электростатическом поле равна нулю поэтому равна нулю сумма напряжений на отдельных конденсаторах:
$U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{k} = 0$, или
$\frac{q_{1}^{ \prime}}{C_{1} } + \frac{q_{2}^{ \prime} }{C_{2} } + \cdots + \frac{q_{k} }{C_{k} } = 0$. (**)
Из системы уравнений (*) и (**) определим новые заряды конденсаторов, а потом и напряжения на них. Прежде всего, выразим все заряды через заряд первого конденсатора. Из первого уравнения системы (*) следует, что $q_{2}^{ \prime} = q_{1}^{ \prime} + (C_{2} - C_{1})U$. Сложив первое и второе уравнения системы (*). получим $q_{3}^{ \prime} = q_{1}^{ \prime} + (C_{3} - C_{1})U$.
Аналогично, дай заряда $i$-го конденсатора получим Я
$q_{i}^{ \prime} = q_{2}^{ \prime} + (C_{i} - C_{1})U$.
Подставим полученные выражения и уравнение (**):
$\frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{1} } + \left [ \frac{q_{2}^{ \prime} }{C_{2} } + \left ( 1 - \frac{C_{1} }{C_{2} } \right ) U \right ] + \cdots + \left [ \frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{k} } + \left ( 1 - \frac{C_{1} }{C_{k} } \right ) U \right ] = 0$
или
$q_{1}^{ \prime} \left ( \right ) + kU - C_{1}U \left ( \right ) = 0$.
Отсюда $q_{1}^{ \prime} = (C_{1} - kC_{0})U$, где $C_{0}$ - емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов
$\frac{1}{C_{0}} = \frac{1}{C_{1} } + \frac{1}{C_{2} } + \cdots + \frac{1}{C_{k} }$.
Так как $q_{i}^{ \prime} = (C_{1} - kC_{0})U + (C_{i} - C_{1})U = (C_{i} - kC_{0} )U$.
Это означает, что напряжение на $i$-м конденсаторе равно
$U_{i}^{ \prime} = \frac{q_{i}^{ \prime} }{C_{i} } = \left ( 1 - k \frac{C_{0} }{C_{i} } \right ) U$.
