Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11971
2019-12-12 
Какова должна быть точность измерения ускорения свободного падения у поверхности Земли для того, чтобы можно было обнаружить изменение этой величины в течение суток из-за притяжения Луны? Считать, что измерение производится в точке, которая лежит в плоскости орбиты Луны; вращением Земли пренебречь.
Решение:
Под действием притяжения друг к другу Земля и Луна вращаются вокруг их общего центра масс. В системе отсчета, связанной с центром масс системы Земля - Луна, на тело, находящееся у поверхности Земли, действуют две силы - сила притяжения со стороны Земли $F_{з} = \gamma \frac{M_{з}m }{R_{з}^{2} }$ и сила притяжения со стороны Луны $F_{л} = \gamma \frac{M_{л} m}{l^{2} }$, где $m$ - масса тела, $M_{з}$ - масса Земли, $M_{л}$ - масса Луны, $R_{з}$ - радиус Земли и $l$ - расстояние от тела до Луны. Сумма этих сил сообщает телу ускорение $\vec{a} = \frac{1}{m} ( \vec{F}_{з} + \vec{F}_{л} )$.
Для того чтобы найти ускорение тела относительно Земли, необходимо учесть, что в нашей системе отсчета сама Земля движется с центростремительным ускорением, сообщаемым ей силой тяготения $\vec{F}_{з-л}$, Действующей на Землю со стороны Луны: $\vec{a}_{з} = \frac{F_{з-л} }{M_{з} } = \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} }$ ($l_{0}$ - расстояние между центрами Земли и Луны).
Таким образом, ускорение свободного падения тела на Землю (ускорение относительно Земли) равно $\vec{g} = \vec{a} - \vec{a}_{з}$.
Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, то взаимное расположение тела, находящегося иа поверхности Земли, Земли и Луны будет со временем, меняться. Следовательно, будет меняться и ускорение свободного падения $\vec{g}$. (Однако изменение ускорения $\vec{g}$, связанное с тем, что вращающаяся Земля не является инерциальной системой отсчета, мы учитывать ие будем.)
В тот момент, когда Луна, Земля и тело расположены вдоль одной прямой и Земля находится между телом и Луной (рис.), силы $\vec{F}_{з}$ и $\vec{F}_{л}$, направлены в одну сторону и ускорение свободного падения равно по абсолютной величине
$g_{1} = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } + \gamma \frac{M_{л} }{(l_{0} + R_{з} )^{2} } - \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } + \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } \frac{1 - (1 + x)^{2} }{(1 + x)^{2} }$,
где $x = \frac{R_{з} }{l_{0}}$. Так как $x \ll 1$, то $1 - (1 + x)^{2} \approx 2x$ и, кроме того, можно пренебречь $x$ по сравнению с 1 в знаменателе второго слагаемого. В результате получим, что
$g{1} \approx \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } - 2 \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } x$.
Через полоборота Земли вокруг своей оси, когда тело находится в точке 2 между Землей и Луной (рис.), силы $\vec{F}_{з}$ и $\vec{F}_{л}$ направлены в противоположные стороны и
$g_{2} = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } - \gamma \frac{M_{л} }{(l_{0} - R_{з} )^{2} } + \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } \approx \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } - 2 \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } x$.
То есть ускорения тела в этих двух точках практически одинаковы: $g_{1} \approx g_{2}$.
В те моменты, когда тело находится в точках 3 и 4, то есть через 1/4 и 3/4 оборота после начала отсчета, силы $\vec{F}_{э}$ и $\vec{F}_{л}$ направлены так, как показано на рисунке. Ускорение свободного падения в точке 3 равно $\vec{g}_{з} = \frac{ \vec{F}_{з} }{m} + \frac{ \vec{F}_{л} }{m} - \vec{a}_{з}$. Сравним второе и третье слагаемые в этом выражении. Направления силы $\vec{F}_{л}$ и ускорения $\vec{a}_{з}$ практически совпадают, а абсолютные величины слагаемых почти одинаковы: $\frac{F_{л}}{m} = \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} + R_{з}^{2} } \approx \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} }$ (так как $R_{з} \ll l_{0}$), $a_{з} = \gamma \frac{M_{з} }{l_{0}^{2} }$. Поэтому можно считать, что величина ускорения свободного падения в точках 3 и 4 определяется только силой притяжения к Земле:
$g_{3} = g_{4} = \frac{F_{з} }{m} = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} }$.
По мере удаления от точек 3 и 4 ускорение уменьшается. Таким образом, в точках 3 и 4 ускорение свободного падения максимально, а в точках 1 и 2 - минимально.
Найдем отношение $\frac{ \Delta g}{g_{3} } = \frac{g_{3} - g_{1} }{ g_{3} }$:
$\frac{ \Delta g}{g_{3} } = 2 \frac{M_{л} }{M_{з} } x^{3} \approx 10^{-7}$,
Очевидно, именно такой должна быть точность измерения ускорения свободного падения у поверхности Земли для того, чтобы можно было обнаружить изменение этой величины из-за притяжения тел Луной.
Какова должна быть точность измерения ускорения свободного падения у поверхности Земли для того, чтобы можно было обнаружить изменение этой величины в течение суток из-за притяжения Луны? Считать, что измерение производится в точке, которая лежит в плоскости орбиты Луны; вращением Земли пренебречь.
Решение:
Под действием притяжения друг к другу Земля и Луна вращаются вокруг их общего центра масс. В системе отсчета, связанной с центром масс системы Земля - Луна, на тело, находящееся у поверхности Земли, действуют две силы - сила притяжения со стороны Земли $F_{з} = \gamma \frac{M_{з}m }{R_{з}^{2} }$ и сила притяжения со стороны Луны $F_{л} = \gamma \frac{M_{л} m}{l^{2} }$, где $m$ - масса тела, $M_{з}$ - масса Земли, $M_{л}$ - масса Луны, $R_{з}$ - радиус Земли и $l$ - расстояние от тела до Луны. Сумма этих сил сообщает телу ускорение $\vec{a} = \frac{1}{m} ( \vec{F}_{з} + \vec{F}_{л} )$.
Для того чтобы найти ускорение тела относительно Земли, необходимо учесть, что в нашей системе отсчета сама Земля движется с центростремительным ускорением, сообщаемым ей силой тяготения $\vec{F}_{з-л}$, Действующей на Землю со стороны Луны: $\vec{a}_{з} = \frac{F_{з-л} }{M_{з} } = \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} }$ ($l_{0}$ - расстояние между центрами Земли и Луны).
Таким образом, ускорение свободного падения тела на Землю (ускорение относительно Земли) равно $\vec{g} = \vec{a} - \vec{a}_{з}$.
Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, то взаимное расположение тела, находящегося иа поверхности Земли, Земли и Луны будет со временем, меняться. Следовательно, будет меняться и ускорение свободного падения $\vec{g}$. (Однако изменение ускорения $\vec{g}$, связанное с тем, что вращающаяся Земля не является инерциальной системой отсчета, мы учитывать ие будем.)
В тот момент, когда Луна, Земля и тело расположены вдоль одной прямой и Земля находится между телом и Луной (рис.), силы $\vec{F}_{з}$ и $\vec{F}_{л}$, направлены в одну сторону и ускорение свободного падения равно по абсолютной величине
$g_{1} = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } + \gamma \frac{M_{л} }{(l_{0} + R_{з} )^{2} } - \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } + \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } \frac{1 - (1 + x)^{2} }{(1 + x)^{2} }$,
где $x = \frac{R_{з} }{l_{0}}$. Так как $x \ll 1$, то $1 - (1 + x)^{2} \approx 2x$ и, кроме того, можно пренебречь $x$ по сравнению с 1 в знаменателе второго слагаемого. В результате получим, что
$g{1} \approx \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } - 2 \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } x$.
Через полоборота Земли вокруг своей оси, когда тело находится в точке 2 между Землей и Луной (рис.), силы $\vec{F}_{з}$ и $\vec{F}_{л}$ направлены в противоположные стороны и
$g_{2} = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } - \gamma \frac{M_{л} }{(l_{0} - R_{з} )^{2} } + \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } \approx \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} } - 2 \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} } x$.
То есть ускорения тела в этих двух точках практически одинаковы: $g_{1} \approx g_{2}$.
В те моменты, когда тело находится в точках 3 и 4, то есть через 1/4 и 3/4 оборота после начала отсчета, силы $\vec{F}_{э}$ и $\vec{F}_{л}$ направлены так, как показано на рисунке. Ускорение свободного падения в точке 3 равно $\vec{g}_{з} = \frac{ \vec{F}_{з} }{m} + \frac{ \vec{F}_{л} }{m} - \vec{a}_{з}$. Сравним второе и третье слагаемые в этом выражении. Направления силы $\vec{F}_{л}$ и ускорения $\vec{a}_{з}$ практически совпадают, а абсолютные величины слагаемых почти одинаковы: $\frac{F_{л}}{m} = \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} + R_{з}^{2} } \approx \gamma \frac{M_{л} }{l_{0}^{2} }$ (так как $R_{з} \ll l_{0}$), $a_{з} = \gamma \frac{M_{з} }{l_{0}^{2} }$. Поэтому можно считать, что величина ускорения свободного падения в точках 3 и 4 определяется только силой притяжения к Земле:
$g_{3} = g_{4} = \frac{F_{з} }{m} = \gamma \frac{M_{з} }{R_{з}^{2} }$.
По мере удаления от точек 3 и 4 ускорение уменьшается. Таким образом, в точках 3 и 4 ускорение свободного падения максимально, а в точках 1 и 2 - минимально.
Найдем отношение $\frac{ \Delta g}{g_{3} } = \frac{g_{3} - g_{1} }{ g_{3} }$:
$\frac{ \Delta g}{g_{3} } = 2 \frac{M_{л} }{M_{з} } x^{3} \approx 10^{-7}$,
Очевидно, именно такой должна быть точность измерения ускорения свободного падения у поверхности Земли для того, чтобы можно было обнаружить изменение этой величины из-за притяжения тел Луной.
