Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11970
2019-12-12 
К некоторому прибору, находящемуся внутри камеры высокого давления, необходимо подводить тепло. Во время опыта меняется давление в камере, и это приводит к изменению со противления любой проволоки, используемой в качестве нагревателя. На рисунке показана схема, используемая в случае, когда необходимо, чтобы количество подводимого за одно и то же время тепла очень слабо зависело от давления. Сопротивление $R_{3}$ - это обмотка нагревателя, $R_{1}$ и $R_{2}$ - некоторые постоянные сопротивления, которые находятся вне камеры высокого давления. При каком соотношении между $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}$ мощность, рассеиваемая на сопротивлении $R_{3}$, меняется меньше всего при изменении величины сопротивления $R_{3}$?
Решение:
Мощность, выделяющаяся на сопротивлении $R_{3}$, равна
$P = I_{3}^{2}R_{3} = \frac{U_{3}^{2} }{R_{3} }$,
где $I_{3}$ - ток и $U_{3}$ - напряжение на сопротивлении $R_{3}$. Обозначим $R_{0}$ общее сопротивление параллельно соединенных сопротивлений $R_{2}$ и $R_{3}$; тогда сопротивления $R_{1}$ и $R_{0}$ соединены последовательно и $\frac{U_{3} }{R_{0} } = \frac{U_{0} }{R_{1} + R_{0} }$, или $U_{3} = U_{0} \frac{R_{0} }{R_{1} + R_{0} }$. Но $R_{0} = \frac{R_{2}R_{3} }{R_{2} + R_{3} }$, следовательно,
$U_{3} = U_{0} \frac{R_{2}R_{3} }{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} }$,
и
$P = \frac{U_{0}^{2}R_{2}^{2}R_{3} }{(R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} )^{2} } = \frac{U_{0}^{2}R_{2}^{2} }{ \left ( \frac{R_{1}R_{2} }{ \sqrt{R_{3} } } + \sqrt{R_{3} } (R_{1} + R_{2} ) \right )^{2} }$. (*)
Исследуем полученное выражение. При $R_{3} = 0$ $P = 0$. При $R_{3}$ стремящемся к $\infty$ (то есть $R_{3} \gg R_{1}$ и $R_{3} \gg R_{2}$), $P$ стремится к 0. Так как $P(R_{3})$ - непрерывная функция (это ясно из физических соображений), то при некотором значении $R_{3}$ мощность максимальна. График зависимости $P$ от $R_{3}$ показан на рисунке. Из графика видно, что при одном и том же изменении $R_{3}$ изменение величины $P$ минимально как раз тогда, когда сама величина $P$ максимальна. Таким образом, нам нужно найти, при каком значении $R_{3}$ мощность максимальна, или, что то же самое, знаменатель в выражении (*) минимален.
Как известно, для двух чисел $a$ и $b$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического: $a + b \geq 2 \sqrt{ab}$; $a + b$ минимально и равно $2 \sqrt{ab}$ при $a = b$. Произведение слагаемых $\frac{R_{1}R_{2} }{ \sqrt{R_{3} } }$ и $\sqrt{R_{3}} (R_{1} + R_{2})$ не зависит от $R_{3}$, поэтому согласно сказанному выше знаменатель выражения (*) минимален, а значит, $P$ максимальна, если
$\frac{R_{1} R_{2}}{ \sqrt{R_{3} } } = (R_{1} + R_{2} ) \sqrt{R_{3} }$, или $R_{3} = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$.
Именно при таком соотношении между $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}$ мощность, выделяемая на сопротивлении $R_{3}$, меняется меньше всего при изменении величины сопротивления $R_{3}$.
К некоторому прибору, находящемуся внутри камеры высокого давления, необходимо подводить тепло. Во время опыта меняется давление в камере, и это приводит к изменению со противления любой проволоки, используемой в качестве нагревателя. На рисунке показана схема, используемая в случае, когда необходимо, чтобы количество подводимого за одно и то же время тепла очень слабо зависело от давления. Сопротивление $R_{3}$ - это обмотка нагревателя, $R_{1}$ и $R_{2}$ - некоторые постоянные сопротивления, которые находятся вне камеры высокого давления. При каком соотношении между $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}$ мощность, рассеиваемая на сопротивлении $R_{3}$, меняется меньше всего при изменении величины сопротивления $R_{3}$?
Решение:
Мощность, выделяющаяся на сопротивлении $R_{3}$, равна
$P = I_{3}^{2}R_{3} = \frac{U_{3}^{2} }{R_{3} }$,
где $I_{3}$ - ток и $U_{3}$ - напряжение на сопротивлении $R_{3}$. Обозначим $R_{0}$ общее сопротивление параллельно соединенных сопротивлений $R_{2}$ и $R_{3}$; тогда сопротивления $R_{1}$ и $R_{0}$ соединены последовательно и $\frac{U_{3} }{R_{0} } = \frac{U_{0} }{R_{1} + R_{0} }$, или $U_{3} = U_{0} \frac{R_{0} }{R_{1} + R_{0} }$. Но $R_{0} = \frac{R_{2}R_{3} }{R_{2} + R_{3} }$, следовательно,
$U_{3} = U_{0} \frac{R_{2}R_{3} }{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} }$,
и
$P = \frac{U_{0}^{2}R_{2}^{2}R_{3} }{(R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} )^{2} } = \frac{U_{0}^{2}R_{2}^{2} }{ \left ( \frac{R_{1}R_{2} }{ \sqrt{R_{3} } } + \sqrt{R_{3} } (R_{1} + R_{2} ) \right )^{2} }$. (*)
Исследуем полученное выражение. При $R_{3} = 0$ $P = 0$. При $R_{3}$ стремящемся к $\infty$ (то есть $R_{3} \gg R_{1}$ и $R_{3} \gg R_{2}$), $P$ стремится к 0. Так как $P(R_{3})$ - непрерывная функция (это ясно из физических соображений), то при некотором значении $R_{3}$ мощность максимальна. График зависимости $P$ от $R_{3}$ показан на рисунке. Из графика видно, что при одном и том же изменении $R_{3}$ изменение величины $P$ минимально как раз тогда, когда сама величина $P$ максимальна. Таким образом, нам нужно найти, при каком значении $R_{3}$ мощность максимальна, или, что то же самое, знаменатель в выражении (*) минимален.
Как известно, для двух чисел $a$ и $b$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического: $a + b \geq 2 \sqrt{ab}$; $a + b$ минимально и равно $2 \sqrt{ab}$ при $a = b$. Произведение слагаемых $\frac{R_{1}R_{2} }{ \sqrt{R_{3} } }$ и $\sqrt{R_{3}} (R_{1} + R_{2})$ не зависит от $R_{3}$, поэтому согласно сказанному выше знаменатель выражения (*) минимален, а значит, $P$ максимальна, если
$\frac{R_{1} R_{2}}{ \sqrt{R_{3} } } = (R_{1} + R_{2} ) \sqrt{R_{3} }$, или $R_{3} = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$.
Именно при таком соотношении между $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}$ мощность, выделяемая на сопротивлении $R_{3}$, меняется меньше всего при изменении величины сопротивления $R_{3}$.
