Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1197
2016-10-20 
Над идеальным одноатомным газом совершается цикл, имеющий в $pV$-координатах вид прямоугольника, стороны которого параллельны осям $p$ и $V$. Найдите максимальный КПД такого цикла.
Решение:
В данном процессе газ получает тепло на участках АВ и ВС, а отдаёт тепло на участках СD и DА (см. рис.). Используя первое начало термодинамики и уравнение Менделеева — Клапейрона, найдём количество теплоты, полученное газом на участках АВ и ВС:
$Q_{AB} = \frac{3}{2} \nu R(T_{B} - T_{A}) = \frac{3}{2}(p_{2}-p_{1})V_{1}$,
$Q_{BC} = \frac{3}{2} \nu R(T_{C} - T_{B}) + p_{2} (V_{2}-V_{1}) = \frac{5}{2}p_{2}(V_{2}-V_{1})$.
Работа, совершаемая газом за цикл, равна:
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{2})$.
Отсюда для величины $1/ \eta$, где $\eta$ — КПД, имеем:
$\frac{1}{ \eta } = \frac{Q_{AB} + Q_{BC}}{A} = \frac{ \frac{3}{2}(p_{2}-p_{1})V_{1} + \frac{5}{2}p_{2}(V_{2}-V_{1})}{(p_{2}-p_{1})(V_{2}-V_{1})} = \frac{ \frac{3}{2} \Delta p V_{1} + \frac{5}{2} \Delta Vp_{1} + \frac{5}{2} \Delta p \Delta V}{ \Delta p \Delta V} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \frac{V_{1}}{ \Delta V} + \frac{5}{2} \frac{p_{1}}{ \Delta p}$.
Здесь $\Delta p = p_{2} — p_{1}, \Delta V = V_{2} — V_{1}$. Видно, что максимальное значение КПД (минимальное значение $1 / \eta$}) достигается при $V_{1} \ll \Delta V, p_{1} \ll \Delta p$. Графически это означает, что точка $A$ цикла прижимается к началу координат $pV$-диаграммы. В пределе получаем:
$\frac{1}{ \eta} \rightarrow \frac{5}{2}$ и $\eta_{max} = \frac{2}{5} = 40%$.
Над идеальным одноатомным газом совершается цикл, имеющий в $pV$-координатах вид прямоугольника, стороны которого параллельны осям $p$ и $V$. Найдите максимальный КПД такого цикла.
Решение:
В данном процессе газ получает тепло на участках АВ и ВС, а отдаёт тепло на участках СD и DА (см. рис.). Используя первое начало термодинамики и уравнение Менделеева — Клапейрона, найдём количество теплоты, полученное газом на участках АВ и ВС:
$Q_{AB} = \frac{3}{2} \nu R(T_{B} - T_{A}) = \frac{3}{2}(p_{2}-p_{1})V_{1}$,
$Q_{BC} = \frac{3}{2} \nu R(T_{C} - T_{B}) + p_{2} (V_{2}-V_{1}) = \frac{5}{2}p_{2}(V_{2}-V_{1})$.
Работа, совершаемая газом за цикл, равна:
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{2})$.
Отсюда для величины $1/ \eta$, где $\eta$ — КПД, имеем:
$\frac{1}{ \eta } = \frac{Q_{AB} + Q_{BC}}{A} = \frac{ \frac{3}{2}(p_{2}-p_{1})V_{1} + \frac{5}{2}p_{2}(V_{2}-V_{1})}{(p_{2}-p_{1})(V_{2}-V_{1})} = \frac{ \frac{3}{2} \Delta p V_{1} + \frac{5}{2} \Delta Vp_{1} + \frac{5}{2} \Delta p \Delta V}{ \Delta p \Delta V} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \frac{V_{1}}{ \Delta V} + \frac{5}{2} \frac{p_{1}}{ \Delta p}$.
Здесь $\Delta p = p_{2} — p_{1}, \Delta V = V_{2} — V_{1}$. Видно, что максимальное значение КПД (минимальное значение $1 / \eta$}) достигается при $V_{1} \ll \Delta V, p_{1} \ll \Delta p$. Графически это означает, что точка $A$ цикла прижимается к началу координат $pV$-диаграммы. В пределе получаем:
$\frac{1}{ \eta} \rightarrow \frac{5}{2}$ и $\eta_{max} = \frac{2}{5} = 40%$.
