Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11969
2019-12-12 
Марс во время противостояния находится на расстоянии $l = 5,56 \cdot 10^{10} м$ от Земли и его угловой диаметр $\alpha = 25^{ \prime \prime},1$. Определить ускорение свободного падения на поверхности Марса, если известно, что максимальное угловое расстояние между центрами Марса и его спутника Фобоса $\beta = 34^{ \prime \prime},5$, а период обращения Фобоса вокруг Марса $T = 2,76 \cdot 10^{4} с$.
Решение:
Ускорение свободного падения на поверхности Марса согласно закону всемирного тяготения и второму закону Ньютона равно
$g_{М} = \gamma \frac{M}{R_{М}^{2} }$,
где $\gamma$ - гравитационная постоянная, $g_{М}$ - масса Марса, $R_{М}$ - его радиус.
Радиус Марса можно определить непосредственно из условия задачи (см. рис.): $R_{М} = l tg \frac{ \alpha}{2} = l \frac{ \alpha}{2}$ (так как $\alpha$ мало, то $tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \alpha}{2}$).
Чтобы найти массу Марса, рассмотрим движение его спутника Фобоса. Для простоты рассуждений будем считать, что спутник вращается по круговой орбите, радиус $R$ которой равен (см. рис.) $R = l tg \beta = k \beta$. Период обращения спутника равен $T$. Центростремительное ускорение $a = \omega^{2}R = \left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} R$ спутнику сообщает сила тяготения $F = \gamma \frac{mM}{R^{2} }$ ($m$ - масса спутника). Поэтому $a = \frac{F}{m}$, или $\left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} R = \gamma \frac{M}{R^{2} }$, откуда
$\gamma M = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} R^{3} = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} (l \beta )^{3}$.
Тогда окончательно
$g_{М} = \gamma \frac{M}{R_{М}^{2} } = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} \frac{(l \beta)^{3} }{ \left ( \frac{l \alpha}{2} \right )^{2} } = \frac{16 \pi^{2} }{T^{2} } \left ( \frac{ \beta}{ \alpha} \right )^{2} l \beta $.
Подставляя в эту формулу данные задачи и учитывая, что $1^{ \prime \prime} = \frac{3,14}{180 \cdot 60 \cdot 60} рад \approx 4,9 \cdot 10^{-5} рад$, получим
$g_{М} = 3,64 м/с^{2}$.
Марс во время противостояния находится на расстоянии $l = 5,56 \cdot 10^{10} м$ от Земли и его угловой диаметр $\alpha = 25^{ \prime \prime},1$. Определить ускорение свободного падения на поверхности Марса, если известно, что максимальное угловое расстояние между центрами Марса и его спутника Фобоса $\beta = 34^{ \prime \prime},5$, а период обращения Фобоса вокруг Марса $T = 2,76 \cdot 10^{4} с$.
Решение:
Ускорение свободного падения на поверхности Марса согласно закону всемирного тяготения и второму закону Ньютона равно
$g_{М} = \gamma \frac{M}{R_{М}^{2} }$,
где $\gamma$ - гравитационная постоянная, $g_{М}$ - масса Марса, $R_{М}$ - его радиус.
Радиус Марса можно определить непосредственно из условия задачи (см. рис.): $R_{М} = l tg \frac{ \alpha}{2} = l \frac{ \alpha}{2}$ (так как $\alpha$ мало, то $tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \alpha}{2}$).
Чтобы найти массу Марса, рассмотрим движение его спутника Фобоса. Для простоты рассуждений будем считать, что спутник вращается по круговой орбите, радиус $R$ которой равен (см. рис.) $R = l tg \beta = k \beta$. Период обращения спутника равен $T$. Центростремительное ускорение $a = \omega^{2}R = \left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} R$ спутнику сообщает сила тяготения $F = \gamma \frac{mM}{R^{2} }$ ($m$ - масса спутника). Поэтому $a = \frac{F}{m}$, или $\left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} R = \gamma \frac{M}{R^{2} }$, откуда
$\gamma M = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} R^{3} = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} (l \beta )^{3}$.
Тогда окончательно
$g_{М} = \gamma \frac{M}{R_{М}^{2} } = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} \frac{(l \beta)^{3} }{ \left ( \frac{l \alpha}{2} \right )^{2} } = \frac{16 \pi^{2} }{T^{2} } \left ( \frac{ \beta}{ \alpha} \right )^{2} l \beta $.
Подставляя в эту формулу данные задачи и учитывая, что $1^{ \prime \prime} = \frac{3,14}{180 \cdot 60 \cdot 60} рад \approx 4,9 \cdot 10^{-5} рад$, получим
$g_{М} = 3,64 м/с^{2}$.
