Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11967
2019-12-12 
Трубка, в которой находится пружинка с прикрепленным к ней шариком, может вращаться вокруг вертикальной оси. проходящей через конец трубки. Свободный конец пружинки прикреплен к трубке (рис.). График зависимости силы упругости пружины $F$ от деформации представлен на рисунке.
Нарисуйте примерный график зависимости смещения шарика вдоль трубки от угловой скорости при увеличении ее от нуля до такой величины, когда $F = 5 н$. Как изменится эта зависимость при уменьшении угловой скорости? $l_{0} = 2 см$.
Решение:
Будем считать, что угловая скорость вращения трубки меняется медленно, так что при каждом значении $\omega$ шарик находится в равновесном состоянии относительно трубки а в неподвижной системе отсчета шарик движется по окружности радиуса $l_{0} + \Delta l$ ($\Delta l$ - изменение длины пружины). Так как центростремительное ускорение $a = \omega^{2} (l_{0} + \Delta l )$ сообщается шарику силой упругости пружины, то согласно закону Ньютона
$m \omega^{2} (l_{0} + \Delta l) = F_{упр}$. (*)
Для того чтобы решить задачу, необходимо из уравнения (*) найти зависимость $\Delta l$ от $\omega$ или, что удобнее, $l = l_{0} + \Delta l$ от $m \omega^{2}$.
Зависимость силы упругости пружины от удлинения пружины задана графически, поэтому уравнение (*) мы будем решать тоже графически. Перерисуем график, сдвинув начало координат в точку с координатой - $l_{0}$ (рис.). Теперь по оси абсцисс у нас отложена полная длина $l$ пружины. Если из начала координат провести прямую линию, то координат точки пересечения этой прямой с графиком будут значения $F_{упр}$ и соответствующей ей длины пружины $l$, а тангенс угла наклона прямой к оси абцисс будет равен $\frac{F_{упр}}{l}$, то есть $m \omega^{2}$.
Чтобы построить график зависимости $l$ от $m \omega^{2}$, проведем из начала координат лучи прямых и отметим все точки пересечения прямых с графиком. Затем, зная значения $l$ и соответствующие им значения $m \omega^{2} = tg \alpha$, будем отмечать их на графике зависимости $l$ от $m \omega^{2}$. Из рисунка видно, что при углах $\alpha < \alpha_{1}$, то есть при $m \omega^{2} < tg \alpha_{1}$, каждая из проведенных прямых пересекается с графиком $F_{упр}(l)$ только в одной точке, и каждому значению $m \omega^{2}$ соответствует одно значение $l$. При $\alpha_{1} < \alpha \alpha_{2}$ прямая пересекает график в трех точках (при $\alpha = \alpha_{1}$ и $\alpha = \alpha_{2}$ - в двух), то есть одному и тому же значению $m \omega^{2}$ соответствуют три значения $l$. Отметим их все на графике, оставив пока в стороне вопрос о том, что означает такая многозначность. При $\alpha > \alpha_{2}$, то есть при $m \omega^{2} > tg \alpha_{2}$, каждая из прямых опять пересекается с графиком только в одной точке и каждому значению $m \omega^{2}$ соответствует одно значение $l$. Соединив все нанесенные точки плавной кривой, мы получим график, показанный на рисунке черной линией. Рассмотрим этот график более подробно.
При $m \omega^{2} < tg \alpha$ и при $m \omega^{2} > tg \alpha_{2}$ каждому значению угловой скорости соответствует одно значение $l$. Здесь все ясно. Но при $tg \alpha < m \omega^{2} < tg \alpha_{2}$ имеется три разных значения $l$ для каждого значения $m \omega^{2}$. На каком же расстоянии от оси вращения находится шарик?
может находиться на таком расстоянии, которое соответствует точке $B_{2}$ графика (см. рис.). Действительно, предположим, что из-за каких-либо случайных причин шарик слегка отклонился от этого положения равновесия, так что $l$ увеличилось на $\Delta x$. Для того чтобы шарик вращался, находясь на расстоянии $l + \Delta x$ от оси, сила упругости должна возрасти. В нашем же случае сила упругости, как видно из рисунка, уменьшалась. Следовательно эта сила не может сообщить шарику необходимое для его движения центростремительное ускорение, и шарик будет продолжать двигаться вдоль трубки к положению $B_{3}$. Таким образом, точка $B_{2}$ соответствует положению неустойчивого равновесия шарика. Аналогично можно показать, что точки $B_{1}$ и $B_{3}$, соответствуют положениям устойчивого равновесия шарика.
Поэтому при $tg \alpha_{1} < m \omega^{2} < tg \alpha_{2}$ шарик может находиться в положениях, соответствующих участкам графика $A_{1}C_{1}$ и $A_{2}C_{2}$.
В каком же именно из своих устойчивых положений будет находиться шарик? Ответ на этот вопрос зависит от того, как изменяется угловая скорость вращения трубки. Если $\omega$ увеличивается, то шарик не может попасть в положения, соответствующие участку $A_{2}C_{2}$ графика, не пройдя положений, соответствующих участку $A_{1}C_{1}$, каждое из которых устойчивое. Следовательно, при увеличении угловой скорости $l$ будет меняться по графику, показанному на рисунке красной линией (в точке $m \omega^{2} = tg \alpha_{2}$ величина $l$ изменяется скачком от значения, соответствующего точке $C_{1}$, до значения, соответствующего точке $C_{2}$). При уменьшении угловой скорости график зависимости $l$ от $m \omega^{2}$ будет таким как показано на рисунке синей линией. Следует иметь в виду, что если трубка вращается с угловой скоростью такой, что $tg \alpha_{1} < m \omega^{2} < tg \alpha_{2}$, то, сильно толкнув шарик, можно перевеет его в положение, соответствующее "чужому" участку графика, по котором и будет в дальнейшем изменяться $l$ при изменении $\omega$.
Трубка, в которой находится пружинка с прикрепленным к ней шариком, может вращаться вокруг вертикальной оси. проходящей через конец трубки. Свободный конец пружинки прикреплен к трубке (рис.). График зависимости силы упругости пружины $F$ от деформации представлен на рисунке.
Нарисуйте примерный график зависимости смещения шарика вдоль трубки от угловой скорости при увеличении ее от нуля до такой величины, когда $F = 5 н$. Как изменится эта зависимость при уменьшении угловой скорости? $l_{0} = 2 см$.
Решение:
Будем считать, что угловая скорость вращения трубки меняется медленно, так что при каждом значении $\omega$ шарик находится в равновесном состоянии относительно трубки а в неподвижной системе отсчета шарик движется по окружности радиуса $l_{0} + \Delta l$ ($\Delta l$ - изменение длины пружины). Так как центростремительное ускорение $a = \omega^{2} (l_{0} + \Delta l )$ сообщается шарику силой упругости пружины, то согласно закону Ньютона
$m \omega^{2} (l_{0} + \Delta l) = F_{упр}$. (*)
Для того чтобы решить задачу, необходимо из уравнения (*) найти зависимость $\Delta l$ от $\omega$ или, что удобнее, $l = l_{0} + \Delta l$ от $m \omega^{2}$.
Зависимость силы упругости пружины от удлинения пружины задана графически, поэтому уравнение (*) мы будем решать тоже графически. Перерисуем график, сдвинув начало координат в точку с координатой - $l_{0}$ (рис.). Теперь по оси абсцисс у нас отложена полная длина $l$ пружины. Если из начала координат провести прямую линию, то координат точки пересечения этой прямой с графиком будут значения $F_{упр}$ и соответствующей ей длины пружины $l$, а тангенс угла наклона прямой к оси абцисс будет равен $\frac{F_{упр}}{l}$, то есть $m \omega^{2}$.
Чтобы построить график зависимости $l$ от $m \omega^{2}$, проведем из начала координат лучи прямых и отметим все точки пересечения прямых с графиком. Затем, зная значения $l$ и соответствующие им значения $m \omega^{2} = tg \alpha$, будем отмечать их на графике зависимости $l$ от $m \omega^{2}$. Из рисунка видно, что при углах $\alpha < \alpha_{1}$, то есть при $m \omega^{2} < tg \alpha_{1}$, каждая из проведенных прямых пересекается с графиком $F_{упр}(l)$ только в одной точке, и каждому значению $m \omega^{2}$ соответствует одно значение $l$. При $\alpha_{1} < \alpha \alpha_{2}$ прямая пересекает график в трех точках (при $\alpha = \alpha_{1}$ и $\alpha = \alpha_{2}$ - в двух), то есть одному и тому же значению $m \omega^{2}$ соответствуют три значения $l$. Отметим их все на графике, оставив пока в стороне вопрос о том, что означает такая многозначность. При $\alpha > \alpha_{2}$, то есть при $m \omega^{2} > tg \alpha_{2}$, каждая из прямых опять пересекается с графиком только в одной точке и каждому значению $m \omega^{2}$ соответствует одно значение $l$. Соединив все нанесенные точки плавной кривой, мы получим график, показанный на рисунке черной линией. Рассмотрим этот график более подробно.
При $m \omega^{2} < tg \alpha$ и при $m \omega^{2} > tg \alpha_{2}$ каждому значению угловой скорости соответствует одно значение $l$. Здесь все ясно. Но при $tg \alpha < m \omega^{2} < tg \alpha_{2}$ имеется три разных значения $l$ для каждого значения $m \omega^{2}$. На каком же расстоянии от оси вращения находится шарик?
может находиться на таком расстоянии, которое соответствует точке $B_{2}$ графика (см. рис.). Действительно, предположим, что из-за каких-либо случайных причин шарик слегка отклонился от этого положения равновесия, так что $l$ увеличилось на $\Delta x$. Для того чтобы шарик вращался, находясь на расстоянии $l + \Delta x$ от оси, сила упругости должна возрасти. В нашем же случае сила упругости, как видно из рисунка, уменьшалась. Следовательно эта сила не может сообщить шарику необходимое для его движения центростремительное ускорение, и шарик будет продолжать двигаться вдоль трубки к положению $B_{3}$. Таким образом, точка $B_{2}$ соответствует положению неустойчивого равновесия шарика. Аналогично можно показать, что точки $B_{1}$ и $B_{3}$, соответствуют положениям устойчивого равновесия шарика.
Поэтому при $tg \alpha_{1} < m \omega^{2} < tg \alpha_{2}$ шарик может находиться в положениях, соответствующих участкам графика $A_{1}C_{1}$ и $A_{2}C_{2}$.
В каком же именно из своих устойчивых положений будет находиться шарик? Ответ на этот вопрос зависит от того, как изменяется угловая скорость вращения трубки. Если $\omega$ увеличивается, то шарик не может попасть в положения, соответствующие участку $A_{2}C_{2}$ графика, не пройдя положений, соответствующих участку $A_{1}C_{1}$, каждое из которых устойчивое. Следовательно, при увеличении угловой скорости $l$ будет меняться по графику, показанному на рисунке красной линией (в точке $m \omega^{2} = tg \alpha_{2}$ величина $l$ изменяется скачком от значения, соответствующего точке $C_{1}$, до значения, соответствующего точке $C_{2}$). При уменьшении угловой скорости график зависимости $l$ от $m \omega^{2}$ будет таким как показано на рисунке синей линией. Следует иметь в виду, что если трубка вращается с угловой скоростью такой, что $tg \alpha_{1} < m \omega^{2} < tg \alpha_{2}$, то, сильно толкнув шарик, можно перевеет его в положение, соответствующее "чужому" участку графика, по котором и будет в дальнейшем изменяться $l$ при изменении $\omega$.
