Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11966
2019-12-12 
Сосуд С (рис.) сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве $T$, давление $p$. Газ настолько разрежен, что молекулы при пролете в сосуд и из сосуда на протяжении размеров отверстия не сталкиваются друг с другом. В сосуде поддерживается температура $4T$. Каким будет давление в сосуде?
Решение:
Давление газа в сосуде равно $p_{1} = n_{1}kT_{1} = 4n kT$, где $n_{1}$ - концентрация молекул в сосуде (число молекул в единице объема) и $k$ - постоянная Больцмана. Вне сосуда давление равно $p = n_{2}kT$ ($n_{2}$ - концентрация молекул в окружающем пространстве) Следовательно,
$p_{1} = 2 p \frac{n_{1} }{n_{2} }$.
Таким образом, для того чтобы найти давление в сосуде, достаточно определить отношение концентраций молекул газа в сосуде и в окружающем пространстве. Для нахождения этого отношения воспользуемся тем, что газ в сосуде находится в равновесии.
При равновесии число молекул газа, вылетающих из сосуда, равно числу молекул газа, влетающих в сосуд за то же время. Для простоты рассуждений будем что скорости всех молекул газа при установившейся температуре одинаковы и равны средней квадратичной скорости, соответствующей этой температуре. Кроме того, будем считать, что молекулы двигаются вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, одно из которых перпендикулярно к плоскости сечения отверстия, причем, все направления равновероятны. Тогда по направлению к отверстию движется 1/6 часть всех молекул, имеющихся в сосуде. За время $\Delta t$ из сосуда вылетают те молекулы, которые находятся от отверстия на расстоянии равном $v_{1} \Delta t$, где $v_{1}$ - скорость молекул в сосуде. Так как концентрация молекул в сосуде равна $n_{1}$, то за время $\Delta t$ из сосуда вылетают $\frac{1}{6}n_{1}v_{1} \Delta t \Delta S$ молекул ($\Delta S$ - площадь отверстия). Аналогично найдем, что в сосуд извне влетает $\frac{1}{6} n_{2}v_{2} \Delta t \Delta S$ молекул, где $v_{2}$ - скорость молекул газа в окружающем пространстве. В условиях равновесии $n_{1}v_{1} = n_{2}v_{2}$. Отсюда найдем, что отношение концентраций молекул равно
$\frac{n_{1} }{n_{2} } = \frac{v_{2} }{v_{1} }$.
Но, как известно, средняя квадратичная скорость движения молекул связана с температурой газа формулой $\frac{m \bar{v^{2} } }{2} = \frac{3kT}{2}$ ($m$ - масса молекулы). Следовательно,
$v_{1} = \sqrt{ \frac{12kT}{m} }, v_{2} = \sqrt{ \frac{3kT}{m} }$ и $\frac{n_{1} }{n_{2} } = \frac{1}{2}$.
Используя это соотношение найдем давление газа в сосуде:
$p_{1} =2p$.
Сосуд С (рис.) сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве $T$, давление $p$. Газ настолько разрежен, что молекулы при пролете в сосуд и из сосуда на протяжении размеров отверстия не сталкиваются друг с другом. В сосуде поддерживается температура $4T$. Каким будет давление в сосуде?
Решение:
Давление газа в сосуде равно $p_{1} = n_{1}kT_{1} = 4n kT$, где $n_{1}$ - концентрация молекул в сосуде (число молекул в единице объема) и $k$ - постоянная Больцмана. Вне сосуда давление равно $p = n_{2}kT$ ($n_{2}$ - концентрация молекул в окружающем пространстве) Следовательно,
$p_{1} = 2 p \frac{n_{1} }{n_{2} }$.
Таким образом, для того чтобы найти давление в сосуде, достаточно определить отношение концентраций молекул газа в сосуде и в окружающем пространстве. Для нахождения этого отношения воспользуемся тем, что газ в сосуде находится в равновесии.
При равновесии число молекул газа, вылетающих из сосуда, равно числу молекул газа, влетающих в сосуд за то же время. Для простоты рассуждений будем что скорости всех молекул газа при установившейся температуре одинаковы и равны средней квадратичной скорости, соответствующей этой температуре. Кроме того, будем считать, что молекулы двигаются вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, одно из которых перпендикулярно к плоскости сечения отверстия, причем, все направления равновероятны. Тогда по направлению к отверстию движется 1/6 часть всех молекул, имеющихся в сосуде. За время $\Delta t$ из сосуда вылетают те молекулы, которые находятся от отверстия на расстоянии равном $v_{1} \Delta t$, где $v_{1}$ - скорость молекул в сосуде. Так как концентрация молекул в сосуде равна $n_{1}$, то за время $\Delta t$ из сосуда вылетают $\frac{1}{6}n_{1}v_{1} \Delta t \Delta S$ молекул ($\Delta S$ - площадь отверстия). Аналогично найдем, что в сосуд извне влетает $\frac{1}{6} n_{2}v_{2} \Delta t \Delta S$ молекул, где $v_{2}$ - скорость молекул газа в окружающем пространстве. В условиях равновесии $n_{1}v_{1} = n_{2}v_{2}$. Отсюда найдем, что отношение концентраций молекул равно
$\frac{n_{1} }{n_{2} } = \frac{v_{2} }{v_{1} }$.
Но, как известно, средняя квадратичная скорость движения молекул связана с температурой газа формулой $\frac{m \bar{v^{2} } }{2} = \frac{3kT}{2}$ ($m$ - масса молекулы). Следовательно,
$v_{1} = \sqrt{ \frac{12kT}{m} }, v_{2} = \sqrt{ \frac{3kT}{m} }$ и $\frac{n_{1} }{n_{2} } = \frac{1}{2}$.
Используя это соотношение найдем давление газа в сосуде:
$p_{1} =2p$.
