Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11964
2019-12-12 
При исследовании упругих свойств стальной проволоки длиной $l$ установили, что если один конец ее закрепить, а другой по вернуть на угол $\phi$ вокруг оси, то возникает момент упругих сил $M = k \phi$. После этого из проволоки навили пружину радиуса $R$ с шагом много меньше $R$. Рассчитать коэффициент упругости пружины (считать, что упругие свойства стали после навивки пружины полностью восстанавливаются).
Решение:
Рассмотрим одни из витков пружины, например, виток АВС (рис.). При деформации пружины половины этого витка поворачиваются, отклоняясь от горизонтальной плоскости на одинаковые углы $\alpha$. Если деформация пружины мала, то мал и этот угол $\alpha$. В сечении В на проволоку со стороны нижней части пружины действует сила $F$ и момент силы $F$, равный $M = FR$, где $R$ - радиус витков пружины. Напряжения, уравновешивающие силу $F$, a $R/r$ раз меньше напряжений. уравновешивающих момент $M$ (докажите это; $r$ - радиус сечения проволоки), и ими можно пренебречь. Это означает, что рассматривая деформацию пружины, мы можем считать, что она связана с чистым закручиванием проволоки вокруг ее оси. Найдем, как связано растяжение пружины с углом $\phi$, на который закручивается проволока. Ясно, что сечение С при растяжении пружины не поворачиваемся. Ведь при растяжении пружины верхняя АС и нижняя СВ части витка поворачиваются на одинаковые углы в разные стороны. Очевидно, что не поворачиваются и сечения А и В. (Они только слегка отклоняются в плоскости, перпендикулярной к рисунку, в соответствии с изменением наклона витка.)
Простой наклон половины витка ВС на угол $\alpha$ вызовет поворот сечений В и С на угол $\alpha$ (рис. а, б). Но сечения В и С должны остаться ориентированными так, как в недеформированной пружине. Повернем их последовательно на угол $\alpha$. Поворот сечения С вызовет закручивание половины витка на угол $\alpha$ по часовой стрелке (рис. в). На такой же угол закручивается проволока при повороте на угол $\alpha$ сечения В (рис. а). Следовательно, половина витка поворачивается на угол $2 \alpha$. Весь же виток закручивается иа угол $4 \alpha$, вся проволока - на угол $\phi = 4 n \alpha$, где $n$ - число витков пружины.
Так как длина одного витка равна $2 \pi R$, а длина проволоки $l$, то $n = \frac{l}{2 \pi R}$ и $\phi = \frac{2 l \alpha}{ \pi R}$.
Очевидно, что удлинение пружины на одном витке (см. рис.) равно $2 \Delta h = 4R \sin \alpha$, или, так как угол $\alpha$ мал и $\sin \alpha \approx \alpha, 2 \Delta h \approx 4R \alpha$. Удлинение всей пружины (на $n$ витках) равно $\Delta H = 4 nR \alpha$. Обозначим коэффициент упругости пружины через $\mu$. Тогда $F = \mu \Delta H$. С другой стороны, $M = FR$, то есть $F = \frac{M}{R}$. Следовательно, $\mu \Delta H = \frac{M}{R} = \frac{k \phi}{R}$. Отсюда
$\mu = \frac{k \phi}{R \Delta H} = \frac{k 4 n \alpha}{R 4 n R \alpha} = \frac{k}{R^{2} }$.
При исследовании упругих свойств стальной проволоки длиной $l$ установили, что если один конец ее закрепить, а другой по вернуть на угол $\phi$ вокруг оси, то возникает момент упругих сил $M = k \phi$. После этого из проволоки навили пружину радиуса $R$ с шагом много меньше $R$. Рассчитать коэффициент упругости пружины (считать, что упругие свойства стали после навивки пружины полностью восстанавливаются).
Решение:
Рассмотрим одни из витков пружины, например, виток АВС (рис.). При деформации пружины половины этого витка поворачиваются, отклоняясь от горизонтальной плоскости на одинаковые углы $\alpha$. Если деформация пружины мала, то мал и этот угол $\alpha$. В сечении В на проволоку со стороны нижней части пружины действует сила $F$ и момент силы $F$, равный $M = FR$, где $R$ - радиус витков пружины. Напряжения, уравновешивающие силу $F$, a $R/r$ раз меньше напряжений. уравновешивающих момент $M$ (докажите это; $r$ - радиус сечения проволоки), и ими можно пренебречь. Это означает, что рассматривая деформацию пружины, мы можем считать, что она связана с чистым закручиванием проволоки вокруг ее оси. Найдем, как связано растяжение пружины с углом $\phi$, на который закручивается проволока. Ясно, что сечение С при растяжении пружины не поворачиваемся. Ведь при растяжении пружины верхняя АС и нижняя СВ части витка поворачиваются на одинаковые углы в разные стороны. Очевидно, что не поворачиваются и сечения А и В. (Они только слегка отклоняются в плоскости, перпендикулярной к рисунку, в соответствии с изменением наклона витка.)
Простой наклон половины витка ВС на угол $\alpha$ вызовет поворот сечений В и С на угол $\alpha$ (рис. а, б). Но сечения В и С должны остаться ориентированными так, как в недеформированной пружине. Повернем их последовательно на угол $\alpha$. Поворот сечения С вызовет закручивание половины витка на угол $\alpha$ по часовой стрелке (рис. в). На такой же угол закручивается проволока при повороте на угол $\alpha$ сечения В (рис. а). Следовательно, половина витка поворачивается на угол $2 \alpha$. Весь же виток закручивается иа угол $4 \alpha$, вся проволока - на угол $\phi = 4 n \alpha$, где $n$ - число витков пружины.
Так как длина одного витка равна $2 \pi R$, а длина проволоки $l$, то $n = \frac{l}{2 \pi R}$ и $\phi = \frac{2 l \alpha}{ \pi R}$.
Очевидно, что удлинение пружины на одном витке (см. рис.) равно $2 \Delta h = 4R \sin \alpha$, или, так как угол $\alpha$ мал и $\sin \alpha \approx \alpha, 2 \Delta h \approx 4R \alpha$. Удлинение всей пружины (на $n$ витках) равно $\Delta H = 4 nR \alpha$. Обозначим коэффициент упругости пружины через $\mu$. Тогда $F = \mu \Delta H$. С другой стороны, $M = FR$, то есть $F = \frac{M}{R}$. Следовательно, $\mu \Delta H = \frac{M}{R} = \frac{k \phi}{R}$. Отсюда
$\mu = \frac{k \phi}{R \Delta H} = \frac{k 4 n \alpha}{R 4 n R \alpha} = \frac{k}{R^{2} }$.
