Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11961
2019-12-12 
Заряженные шарики с одинаковой массой, расположенные на расстоянии $l$ друг от друга, отпустили (без начальной скорости). Через $t$ секунд расстояние между ними удвоилось. Через какое время удвоится расстояние между шариками, если их отпустить с расстояния $3l$?
Решение:
Шарики удаляются друг от друга под действием силы $F$ электрического отталкивания, равной (в системе единиц СГСЭ) $F = \frac{q^{2}}{r^{2}}$, где $q$ - заряд каждого шарика, $r$ - расстояние между шариками. Сила $F$, а значит, и ускорение шариков меняются по величине по мере изменения расстояния между шариками, поэтому движение шариков не будет равноускоренным. Для решения задачи придется проявить некоторую изобретательность
Разобьем перемещения шариков в первом и во втором случаях на одинаковое число участков таких, чтобы относительные перемещения в обоих случаях были одинаковыми. Обозначим начальное расстояние между шариками $2x_{0}$, а в некоторый момент времени - $2x$. Величина $k = \frac{x}{x_{0}}$ и есть относительное перемещение шариков.
Пусть $k$ изменилось на величину $\Delta k = \frac{ \Delta x}{x}$. Тогда перемещение каждого шарика в первом случае (когда $2x_{0} = l$) равно $\Delta x_{1} = \Delta k \frac{l}{2}$, а во втором случае (когда $2x_{0} = 3l$) - $\Delta x_{2} = \Delta k \frac{3}{2}l$. Отношение перемещений шариков равно
$\frac{ \Delta x_{2} }{ \Delta x_{1} } = 3$.
Теперь сравним средние скорости шариков. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент шарики обладают только потенциальной энергией электрического взаимодействия $\Pi_{0} = \frac{q^{2} }{2x_{0} }$ (в системе СГСЭ). В тот момент, когда расстояние между шариками равно $2x$, они обладают потенциальной энергией $\Pi = \frac{q^{2} }{2x}$ и кинетической энергией $K = 2 \frac{mv^{2} }{2}$ ($m$ - масса шарика). По закону сохранения энергии $\frac{q^{2} }{2x_{0} } = \frac{q^{2} }{2x} + mv^{2} $. Отсюда
$v = \sqrt{ \frac{q^{2} }{2m} \frac{x - x_{0} }{xx_{0} } } = \sqrt{ \frac{q^{2} }{2x_{0}m } \frac{k - 1}{k} }$.
Видим, что при одном и том же относительном перемещении $k$ скорость шарика в первом случае больше скорости шарика но втором случае в $\frac{ \sqrt{ q^{2}/ml } }{ \sqrt{ q^{2}/2ml } } = \sqrt{3}$ раз.
Ясно, что при изменении $k$ на величину $\Delta k$ средние скорости шариков будут отличатся тоже в $\sqrt{3}$ раз:
$\frac{v_{ср.1} }{v_{ср.2} } = sqrt{3}$.
Времена, за которые шарики перемещаются на $\Delta x_{1}$ в первом случае и на $\Delta x_{2}$ во втором случае, равны соответственно
$\Delta t_{1} = \frac{ \Delta x_{1} }{v_{ср.1} }$ и $\Delta t_{2} = \frac{ \Delta x_{2} }{v_{ср.2} }$.
Отсюда
$\frac{ \Delta t_{2} }{ \Delta t_{1} } = \frac{ \Delta x_{2} }{ \Delta x_{1} } \frac{v_{ср.1} }{v_{ср.2} } = 3 \sqrt{3}$,
то есть при любом изменении величины $k$ время движения в первом случае большие времени движения во втором случае в $3 \sqrt{3}$ раза.
Следовательно, когда расстояния между шариками удвоятся, полное время $t_{2}$ будет больше времени $t_{1}$ тоже в $3 \sqrt{3}$ раза. То есть
$t_{2} = 3 \sqrt{3} t_{1} = 3 \sqrt{3} t$.
Заряженные шарики с одинаковой массой, расположенные на расстоянии $l$ друг от друга, отпустили (без начальной скорости). Через $t$ секунд расстояние между ними удвоилось. Через какое время удвоится расстояние между шариками, если их отпустить с расстояния $3l$?
Решение:
Шарики удаляются друг от друга под действием силы $F$ электрического отталкивания, равной (в системе единиц СГСЭ) $F = \frac{q^{2}}{r^{2}}$, где $q$ - заряд каждого шарика, $r$ - расстояние между шариками. Сила $F$, а значит, и ускорение шариков меняются по величине по мере изменения расстояния между шариками, поэтому движение шариков не будет равноускоренным. Для решения задачи придется проявить некоторую изобретательность
Разобьем перемещения шариков в первом и во втором случаях на одинаковое число участков таких, чтобы относительные перемещения в обоих случаях были одинаковыми. Обозначим начальное расстояние между шариками $2x_{0}$, а в некоторый момент времени - $2x$. Величина $k = \frac{x}{x_{0}}$ и есть относительное перемещение шариков.
Пусть $k$ изменилось на величину $\Delta k = \frac{ \Delta x}{x}$. Тогда перемещение каждого шарика в первом случае (когда $2x_{0} = l$) равно $\Delta x_{1} = \Delta k \frac{l}{2}$, а во втором случае (когда $2x_{0} = 3l$) - $\Delta x_{2} = \Delta k \frac{3}{2}l$. Отношение перемещений шариков равно
$\frac{ \Delta x_{2} }{ \Delta x_{1} } = 3$.
Теперь сравним средние скорости шариков. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент шарики обладают только потенциальной энергией электрического взаимодействия $\Pi_{0} = \frac{q^{2} }{2x_{0} }$ (в системе СГСЭ). В тот момент, когда расстояние между шариками равно $2x$, они обладают потенциальной энергией $\Pi = \frac{q^{2} }{2x}$ и кинетической энергией $K = 2 \frac{mv^{2} }{2}$ ($m$ - масса шарика). По закону сохранения энергии $\frac{q^{2} }{2x_{0} } = \frac{q^{2} }{2x} + mv^{2} $. Отсюда
$v = \sqrt{ \frac{q^{2} }{2m} \frac{x - x_{0} }{xx_{0} } } = \sqrt{ \frac{q^{2} }{2x_{0}m } \frac{k - 1}{k} }$.
Видим, что при одном и том же относительном перемещении $k$ скорость шарика в первом случае больше скорости шарика но втором случае в $\frac{ \sqrt{ q^{2}/ml } }{ \sqrt{ q^{2}/2ml } } = \sqrt{3}$ раз.
Ясно, что при изменении $k$ на величину $\Delta k$ средние скорости шариков будут отличатся тоже в $\sqrt{3}$ раз:
$\frac{v_{ср.1} }{v_{ср.2} } = sqrt{3}$.
Времена, за которые шарики перемещаются на $\Delta x_{1}$ в первом случае и на $\Delta x_{2}$ во втором случае, равны соответственно
$\Delta t_{1} = \frac{ \Delta x_{1} }{v_{ср.1} }$ и $\Delta t_{2} = \frac{ \Delta x_{2} }{v_{ср.2} }$.
Отсюда
$\frac{ \Delta t_{2} }{ \Delta t_{1} } = \frac{ \Delta x_{2} }{ \Delta x_{1} } \frac{v_{ср.1} }{v_{ср.2} } = 3 \sqrt{3}$,
то есть при любом изменении величины $k$ время движения в первом случае большие времени движения во втором случае в $3 \sqrt{3}$ раза.
Следовательно, когда расстояния между шариками удвоятся, полное время $t_{2}$ будет больше времени $t_{1}$ тоже в $3 \sqrt{3}$ раза. То есть
$t_{2} = 3 \sqrt{3} t_{1} = 3 \sqrt{3} t$.
