Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11960
2019-12-12 
Найти частоту "симметричных" колебаний системы, показанной на рисунке. Массы всех шаров $m$, коэффициенты упругости пружинок $k$.
Решение:
Прежде всего найдем силу, действующую на каждый шарик при его смещении из положения равновесия (рис.). Обозначим начальное расстояние шарика от центра системы (точки О) $x_{0}$, новое расстояние - $x$, смещение шарика от положения равновесия - $\Delta x$, начальную длину пружины - $l_{0}$ ее длину в растянутом состоянии - $l$, а изменение длины пружины - $\Delta l$.
Как видно из рисунка б,
$l_{0} = 2x_{0} \cos 30^{ \circ}$ и $l = 2x \cos 30^{ \circ}$.
Тогда каждая из пружин при смещении шариков окажется растянутой иа величину
$\Delta l = l - l_{0} = 2 (x - x_{0} ) \cos 30^{ \circ} = \sqrt{3} \Delta x$.
Следовательно, на каждый шарик со стороны пружин будут действовать две равные по абсолютной величине силы: $F = k \Delta l = \sqrt{З} k \Delta x$.
Равнодействующая этих сил направлена к положению равновесия шарика и равна по абсолютной величине (см. рис.) $F^{ \prime} = 2F \cos 30^{ \circ} = 3k \Delta x$, то есть пропорциональна смещению шарика от положения равновесия. Это означает. что система эквивалентна системе из трех обычных пружинных маятников, соединенных в точке О и имеющих жесткость $k^{ \prime} = 3k$ каждый. Поэтому частота колебаний системы будет равна
$\omega = \sqrt{ \frac{k^{ \prime} }{m} } = \sqrt{ \frac{3k}{m} }$.
Найти частоту "симметричных" колебаний системы, показанной на рисунке. Массы всех шаров $m$, коэффициенты упругости пружинок $k$.
Решение:
Прежде всего найдем силу, действующую на каждый шарик при его смещении из положения равновесия (рис.). Обозначим начальное расстояние шарика от центра системы (точки О) $x_{0}$, новое расстояние - $x$, смещение шарика от положения равновесия - $\Delta x$, начальную длину пружины - $l_{0}$ ее длину в растянутом состоянии - $l$, а изменение длины пружины - $\Delta l$.
Как видно из рисунка б,
$l_{0} = 2x_{0} \cos 30^{ \circ}$ и $l = 2x \cos 30^{ \circ}$.
Тогда каждая из пружин при смещении шариков окажется растянутой иа величину
$\Delta l = l - l_{0} = 2 (x - x_{0} ) \cos 30^{ \circ} = \sqrt{3} \Delta x$.
Следовательно, на каждый шарик со стороны пружин будут действовать две равные по абсолютной величине силы: $F = k \Delta l = \sqrt{З} k \Delta x$.
Равнодействующая этих сил направлена к положению равновесия шарика и равна по абсолютной величине (см. рис.) $F^{ \prime} = 2F \cos 30^{ \circ} = 3k \Delta x$, то есть пропорциональна смещению шарика от положения равновесия. Это означает. что система эквивалентна системе из трех обычных пружинных маятников, соединенных в точке О и имеющих жесткость $k^{ \prime} = 3k$ каждый. Поэтому частота колебаний системы будет равна
$\omega = \sqrt{ \frac{k^{ \prime} }{m} } = \sqrt{ \frac{3k}{m} }$.
