Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11958
2019-12-12 
Источник счета находится на расстоянии $3a$ от линзы с фокусным расстоянием $a$. Во сколько раз изменится средняя освещенность пятна на экране, который находится на расстоянии $1,5a$ от линзы, если между линзой и источником поместить плоскопараллельную стеклянную пластинку толщины $0,5a$? Показатель преломления стекла равен $n$.
Решение:
Средняя освещенность $E$ пятна на экране зависит от светового потока $\Phi$, проходящего через линзу и попадающего на экран, и от площади $\Delta s$ пятна на экране:
$E = \frac{ \Phi }{ \Delta s}$.
Найдем отдельно освещенности в первом и во втором случаях, а потом их отношение.
В первом случае источник находится на расстоянии $d_{1} = 3a$ от линзы. Из формулы Линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ получим, что изображение источника находится на расстоянии $f_{1} = \frac{Fd_{1} }{d_{1} - F } = \frac{3}{2}a$ от линзы, то есть как раз на экране.
Пусть площадь источника мала и равна $\Delta S$ (размеры источника действительно, должны быть малыми по сравнению с расстоянием от него до линзы, так как пользуясь формулой линзы, мы рассматриваем только близкие к глазной оптической оси лучи). Тогда можно считать, что световой поток, излучаемый с единицы площади источника в единичном телесном угле – и обозначим его $I$, - есть величина постоянная. Таким образом, на линзу от источника падает световой поток $\Phi_{1} = I \Delta S \Omega_{1}$, где $\Omega_{1}$ - телесный угол, в котором видна линза из точек источника. Угол $\Omega_{1}$ измеряется отношением $\frac{S}{d_{1}^{2} }$ ($S$ - площадь линзы, $d_{1}$ - расстояние от линзы до источника). Этот световой поток после линзы попадает на экран. Площадь изображении $\Delta s_{1}$ на экране относится к площади $\Delta S$ источника как $\frac{f_{1}^{2} }{d_{1}^{2} }$, то есть
$\frac{ \Delta s_{1} }{ \Delta S} = \frac{f_{1}^{2} }{d_{1}^{2} } = \frac{1}{4}$.
После того, как между источником и линзой поместили плоскопараллельную пластинку, источником для линзы стало изображение источника, даваемое пластинкой Найдем положение этого изображения (расстояние $x$ на рисунке).
Для этого построим ход двух лучей, выходящих, например, из точки А источника. Пусть одни луч перпендикулярен к пластинке, а второй луч образует с первым малый угол $\alpha$. Из треугольника $A^{ \prime}CK$ отрезок $CK$ равен
$CK = A^{ \prime}K tg \alpha = \left ( l - x + \frac{a}{2} \right ) tg \alpha$.
С другой стороны,
$CK = CD + KD = \frac{a}{2} tg \beta + l tg \alpha$.
Следовательно,
$\left ( l - x + \frac{a}{2} \right ) tg \alpha = \frac{a}{2} tg \beta + l tg \alpha$.
Отсюда $x = \frac{a}{2} \left ( 1 - \frac{ tg \beta}{ tg \alpha} \right )$. Так как углы $\alpha$ и $\beta$ малы, то $\frac{tg \alpha}{tg \beta} = \frac{ \sin \beta}{ \sin \alpha} = \frac{1}{n}$ и $x = \frac{a}{2} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )$. Таким образом, изображение источника, даваемое пластинкой, находится от линзы на расстоянии $d_{2} = Зa - x = \frac{a}{2} \left ( 5 + \frac{1}{n} \right )$.
При этом размеры изображения такие же, как и источника (cм. рис.). Световой поток $\Phi_{2}$. падающий на линзу от этого нового источника, равен $\Phi_{2} = I \Delta S \Omega_{2} = I \Delta S \frac{S}{ d_{2}^{2} }$.
Теперь из формулы линзы найдем положение изображения этого источника:
$f_{2} = \frac{Fd_{2}}{d_{2} - F } = a \frac{5n + 1}{3n + 1}$.
Ясно, что четкое изображение находится не на экране, а на экране видно размытое пятно. Однако, так как для стекла $n$ лежит в пределах от 1,5 до 2, то $f_{2}$ принимает значения от $1,54a$ до $1,57a$. То есть изображение находится от экрана на расстоянии примерно $0,05a$. Это расстояние мало по сравнению с расстоянием $1,5a$ от экрана до линзы, кроме того, размер предмета и диаметр линзы тоже малы (отметим еще раз, что мы рассматриваем только узкие приосевые пучки). Поэтому можно считать, что размеры четкого изображения не отличаются от размеров пятна на экране (рис.) и $\frac{ \Delta s_{2} }{ \Delta S} = \frac{f_{2}^{2} }{d_{2}^{2} } = \frac{4n^{2} }{(3n + 1)^{2} }$.
Тогда освещенность $E_{2}$ экрана в этом случае равна
$E_{2} = \frac{ \Phi_{2} }{ \Delta s_{2} } = \frac{IS \Delta S}{d_{1}^{2} \Delta s_{2} } = \left ( \frac{3n + 1}{5n + 1} \right )^{2} \frac{IS}{a^{2} }$,
и отношение освещённостей
$\frac{E_{2} }{E_{1} } = \frac{9}{4} \left ( \frac{3n + 1}{5n + 1} \right )^{2}$.
Источник счета находится на расстоянии $3a$ от линзы с фокусным расстоянием $a$. Во сколько раз изменится средняя освещенность пятна на экране, который находится на расстоянии $1,5a$ от линзы, если между линзой и источником поместить плоскопараллельную стеклянную пластинку толщины $0,5a$? Показатель преломления стекла равен $n$.
Решение:
Средняя освещенность $E$ пятна на экране зависит от светового потока $\Phi$, проходящего через линзу и попадающего на экран, и от площади $\Delta s$ пятна на экране:
$E = \frac{ \Phi }{ \Delta s}$.
Найдем отдельно освещенности в первом и во втором случаях, а потом их отношение.
В первом случае источник находится на расстоянии $d_{1} = 3a$ от линзы. Из формулы Линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ получим, что изображение источника находится на расстоянии $f_{1} = \frac{Fd_{1} }{d_{1} - F } = \frac{3}{2}a$ от линзы, то есть как раз на экране.
Пусть площадь источника мала и равна $\Delta S$ (размеры источника действительно, должны быть малыми по сравнению с расстоянием от него до линзы, так как пользуясь формулой линзы, мы рассматриваем только близкие к глазной оптической оси лучи). Тогда можно считать, что световой поток, излучаемый с единицы площади источника в единичном телесном угле – и обозначим его $I$, - есть величина постоянная. Таким образом, на линзу от источника падает световой поток $\Phi_{1} = I \Delta S \Omega_{1}$, где $\Omega_{1}$ - телесный угол, в котором видна линза из точек источника. Угол $\Omega_{1}$ измеряется отношением $\frac{S}{d_{1}^{2} }$ ($S$ - площадь линзы, $d_{1}$ - расстояние от линзы до источника). Этот световой поток после линзы попадает на экран. Площадь изображении $\Delta s_{1}$ на экране относится к площади $\Delta S$ источника как $\frac{f_{1}^{2} }{d_{1}^{2} }$, то есть
$\frac{ \Delta s_{1} }{ \Delta S} = \frac{f_{1}^{2} }{d_{1}^{2} } = \frac{1}{4}$.
После того, как между источником и линзой поместили плоскопараллельную пластинку, источником для линзы стало изображение источника, даваемое пластинкой Найдем положение этого изображения (расстояние $x$ на рисунке).
Для этого построим ход двух лучей, выходящих, например, из точки А источника. Пусть одни луч перпендикулярен к пластинке, а второй луч образует с первым малый угол $\alpha$. Из треугольника $A^{ \prime}CK$ отрезок $CK$ равен
$CK = A^{ \prime}K tg \alpha = \left ( l - x + \frac{a}{2} \right ) tg \alpha$.
С другой стороны,
$CK = CD + KD = \frac{a}{2} tg \beta + l tg \alpha$.
Следовательно,
$\left ( l - x + \frac{a}{2} \right ) tg \alpha = \frac{a}{2} tg \beta + l tg \alpha$.
Отсюда $x = \frac{a}{2} \left ( 1 - \frac{ tg \beta}{ tg \alpha} \right )$. Так как углы $\alpha$ и $\beta$ малы, то $\frac{tg \alpha}{tg \beta} = \frac{ \sin \beta}{ \sin \alpha} = \frac{1}{n}$ и $x = \frac{a}{2} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )$. Таким образом, изображение источника, даваемое пластинкой, находится от линзы на расстоянии $d_{2} = Зa - x = \frac{a}{2} \left ( 5 + \frac{1}{n} \right )$.
При этом размеры изображения такие же, как и источника (cм. рис.). Световой поток $\Phi_{2}$. падающий на линзу от этого нового источника, равен $\Phi_{2} = I \Delta S \Omega_{2} = I \Delta S \frac{S}{ d_{2}^{2} }$.
Теперь из формулы линзы найдем положение изображения этого источника:
$f_{2} = \frac{Fd_{2}}{d_{2} - F } = a \frac{5n + 1}{3n + 1}$.
Ясно, что четкое изображение находится не на экране, а на экране видно размытое пятно. Однако, так как для стекла $n$ лежит в пределах от 1,5 до 2, то $f_{2}$ принимает значения от $1,54a$ до $1,57a$. То есть изображение находится от экрана на расстоянии примерно $0,05a$. Это расстояние мало по сравнению с расстоянием $1,5a$ от экрана до линзы, кроме того, размер предмета и диаметр линзы тоже малы (отметим еще раз, что мы рассматриваем только узкие приосевые пучки). Поэтому можно считать, что размеры четкого изображения не отличаются от размеров пятна на экране (рис.) и $\frac{ \Delta s_{2} }{ \Delta S} = \frac{f_{2}^{2} }{d_{2}^{2} } = \frac{4n^{2} }{(3n + 1)^{2} }$.
Тогда освещенность $E_{2}$ экрана в этом случае равна
$E_{2} = \frac{ \Phi_{2} }{ \Delta s_{2} } = \frac{IS \Delta S}{d_{1}^{2} \Delta s_{2} } = \left ( \frac{3n + 1}{5n + 1} \right )^{2} \frac{IS}{a^{2} }$,
и отношение освещённостей
$\frac{E_{2} }{E_{1} } = \frac{9}{4} \left ( \frac{3n + 1}{5n + 1} \right )^{2}$.
