Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11956
2019-12-12 
Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте $h = 760 км$ над поверхностью Земли. Его хотят перевести на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли $H = 40 000 км$ и минимальным расстоянием от поверхности $h = 760 км$. Насколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Каким будет период обращения спутника по новой, эллиптической, орбите?
Решение:
Для простоты будем считать, что скорость спутника изменяется за очень короткий промежуток времени (малый по сравнению с периодом обращения спутника по круговой орбите). Минимальное расстояние от поверхности Земли до эллиптической орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, то есть обе орбиты спутника имеют общую точку (точка 1 на рисунке), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости $v_{0}$ и $v_{1}$ спутника в этой точке на круговой и на эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости $\Delta v = v_{1} - v_{0}$.
Вначале определим скорость $v_{0}$ спутника при движении по круговой орбите. Так как центростремительное ускорение $a = \frac{v_{0}^{2}}{R + h}$ ($R$ - радиус Земли) спутнику сообщает сила тяготения $F_{т} = \gamma \frac{mM}{(R + h)^{2} }$ ($M$ - масса Земли, $m$ - масса спутника), то, согласно II закону Ньютона, $\frac{mv_{0}^{2} }{R + h} = \gamma \frac{mM}{(R + h)^{2} }$. Из этого равенства непосредственно найдем, что
$v_{0} = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R + h} }$.
Для того чтобы определить скорость $v_{1}$ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте $h$ над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и III законом Кеплера). Из аналогии между гравитационным и электростатическим полями можно заключить, что в тот момент, когда спутник находится на расстоянии $h$ от Земли, он обладает потенциальной энергией $\Pi_{1} = - \gamma \frac{mM}{R + h}$. Кроме того, спутник имеет кинетическую энергию $K_{1} = \frac{mv_{1}^{2}}{2}$. На высоте $H$ от Земли спутник обладает потенциальной энергией $\Pi_{2} = - \gamma \frac{mM}{R + H}$ и кинетической энергией $K_{2} = \frac{mv_{2}^{2} }{2}$, где $v_{2}$ - скорость спутника на высоте $H$. Согласно закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} - \gamma \frac{mM}{R + h} = \frac{mv_{2}^{2} }{2} - \gamma \frac{mM}{R + h}$.
По второму закону Кеплера площади, заметаемые радиус-вектором спутника за равные промежутки времени, равны. На рисунке это площади заштрихованных фигур. Если промежуток времени $\Delta t$ мал, скорости движения спутника вблизи точек 1 и 2 можно считать постоянными. Тогда вместо секторов можно рассматривать соответствующие равнобедренные треугольники. Запишем равенство их площадей:
$\frac{1}{2} v_{1} \Delta t (R + h) = \frac{1}{2} v_{2} \Delta t (R + H)$.
Из последних двух равенств найдем
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2 \gamma M}{2R + H + h} \frac{R + H}{R + h} }$.
Тогда изменение скорости спутника
$\Delta v = v_{1} - v_{0} = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{R + h} } \left ( \sqrt{ \frac{2(R +H)}{2R + H + h} } - 1 \right ) \approx 2 \frac{км}{с}$.
Теперь определим период $T$ обращения спутника по эллиптической орбите. Согласно III закону Кеплера, отношение квадратов периодов обращения спутника равно отношению кубов больших полуосей его орбит. Поэтому
$\frac{T^{2}}{T_{0}^{2} } = \frac{(2R + h + H)^{3}}{8(R + h)^{3} }$,
где $T_{0} = \frac{2 \pi (R + h) }{v_{0} }$ - период обращения спутника по круговой орбите радиуса $R + h$. Следовательно.
$T = \pi (2R + H + h) \sqrt{ \frac{2R + H + h}{2 \gamma M} } \approx 12 ч$.
Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте $h = 760 км$ над поверхностью Земли. Его хотят перевести на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли $H = 40 000 км$ и минимальным расстоянием от поверхности $h = 760 км$. Насколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Каким будет период обращения спутника по новой, эллиптической, орбите?
Решение:
Для простоты будем считать, что скорость спутника изменяется за очень короткий промежуток времени (малый по сравнению с периодом обращения спутника по круговой орбите). Минимальное расстояние от поверхности Земли до эллиптической орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, то есть обе орбиты спутника имеют общую точку (точка 1 на рисунке), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости $v_{0}$ и $v_{1}$ спутника в этой точке на круговой и на эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости $\Delta v = v_{1} - v_{0}$.
Вначале определим скорость $v_{0}$ спутника при движении по круговой орбите. Так как центростремительное ускорение $a = \frac{v_{0}^{2}}{R + h}$ ($R$ - радиус Земли) спутнику сообщает сила тяготения $F_{т} = \gamma \frac{mM}{(R + h)^{2} }$ ($M$ - масса Земли, $m$ - масса спутника), то, согласно II закону Ньютона, $\frac{mv_{0}^{2} }{R + h} = \gamma \frac{mM}{(R + h)^{2} }$. Из этого равенства непосредственно найдем, что
$v_{0} = \sqrt{ \gamma \frac{M}{R + h} }$.
Для того чтобы определить скорость $v_{1}$ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте $h$ над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и III законом Кеплера). Из аналогии между гравитационным и электростатическим полями можно заключить, что в тот момент, когда спутник находится на расстоянии $h$ от Земли, он обладает потенциальной энергией $\Pi_{1} = - \gamma \frac{mM}{R + h}$. Кроме того, спутник имеет кинетическую энергию $K_{1} = \frac{mv_{1}^{2}}{2}$. На высоте $H$ от Земли спутник обладает потенциальной энергией $\Pi_{2} = - \gamma \frac{mM}{R + H}$ и кинетической энергией $K_{2} = \frac{mv_{2}^{2} }{2}$, где $v_{2}$ - скорость спутника на высоте $H$. Согласно закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} - \gamma \frac{mM}{R + h} = \frac{mv_{2}^{2} }{2} - \gamma \frac{mM}{R + h}$.
По второму закону Кеплера площади, заметаемые радиус-вектором спутника за равные промежутки времени, равны. На рисунке это площади заштрихованных фигур. Если промежуток времени $\Delta t$ мал, скорости движения спутника вблизи точек 1 и 2 можно считать постоянными. Тогда вместо секторов можно рассматривать соответствующие равнобедренные треугольники. Запишем равенство их площадей:
$\frac{1}{2} v_{1} \Delta t (R + h) = \frac{1}{2} v_{2} \Delta t (R + H)$.
Из последних двух равенств найдем
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2 \gamma M}{2R + H + h} \frac{R + H}{R + h} }$.
Тогда изменение скорости спутника
$\Delta v = v_{1} - v_{0} = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{R + h} } \left ( \sqrt{ \frac{2(R +H)}{2R + H + h} } - 1 \right ) \approx 2 \frac{км}{с}$.
Теперь определим период $T$ обращения спутника по эллиптической орбите. Согласно III закону Кеплера, отношение квадратов периодов обращения спутника равно отношению кубов больших полуосей его орбит. Поэтому
$\frac{T^{2}}{T_{0}^{2} } = \frac{(2R + h + H)^{3}}{8(R + h)^{3} }$,
где $T_{0} = \frac{2 \pi (R + h) }{v_{0} }$ - период обращения спутника по круговой орбите радиуса $R + h$. Следовательно.
$T = \pi (2R + H + h) \sqrt{ \frac{2R + H + h}{2 \gamma M} } \approx 12 ч$.
