ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-12-05   
Для определения отношения теплоемкостей газа при постоянном объеме и при постоянной давлении иногда применяется следующий метод. Определенное количество газа, начальная температура, объем и давление которого равны соответственно $T_{0}, V_{0}$ и $p_{0}$, нагревается платиновой проволокой, через которую в течение определенного времени проходит электрический ток, один раз при постоянном объеме $V_{0}$, причем газ достигает давления $p_{1}$, другой раз при постоянном давлении $p_{0}$, причем объем газа становится равным $V_{1}$. Показать, что $\frac{c_{p} }{c_{V} } = \frac{(p_{1} - p_{0} )V_{0} }{(V_{1} - V_{0} )p_{0} }$.


Решение:


Так как проволока нагревается одним и тем же током в течение одного и того же времени, то газ в обоих случаях получает одно и то же количество тепла.

Если газ нагревается при постоянном объеме, то количество тепла, получаемого газом, равно

$Q = c_{V}m(T - T_{0} )$.

Запишем уравнения состояния газа:

$p_{0}V_{0} = nRT_{0}$

и

$p_{1}V_{0} = nRT$.

Здесь $n$ - число молей газа, $T$ - температура газа при давлении $p_{1}$. Отсюда

$T - T_{0} = \frac{V_{0} (p_{1} - p_{0} ) }{n}$,

и

$Q = c_{V}m \frac{V_{0}(p_{1} - p_{0} ) }{m}$. (1)

При нагревании при постоянном давлении газ получает количество тепла

$Q = c_{p}m (T^{ \prime} - T_{0})$.

Из уравнений состояния идеального газа

$p_{0}V_{0} = nRT_{0}$ и $p_{0}V_{1} = nRТ^{ \prime}$

имеем:

$T^{ \prime} - T_{0} = \frac{p_{0}(V_{1} - V_{0} ) }{n}$,

и

$Q = c_{p}m \frac{p_{0}(V_{1} - V_{0} ) }{ n}$. (2)

Разделив равенство (1) на равенство (2), получим

$1 = \frac{c_{V} }{c_{p} } \frac{V_{0}(p_{1} - p_{0} ) }{p_{0}(V_{1} - V_{0} ) }$.

Отсюда

$\frac{c_{p} }{C_{V} } = \frac{V_{0}(p_{1} - p_{0} ) }{p_{0}(V_{1} - V_{0} ) }$.