Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1195
2016-10-20 
Найдите КПД тепловой машины, цикл которой состоит из двух изохор и двух изобар (см. рисунок), а рабочим телом является идеальный одноатомный газ. Середины нижней изобары и левой изохоры лежат на изотерме, соответствующей температуре $T_{1}$, а середины верхней изобары и правой изохоры на изотерме, соответствующей температуре $T_{2}$.
Решение:
Введём ряд вспомогательных обозначений для объёма, давления и температуры газа (см. рис.). По определению, КПД цикла есть отношение полезной работы $A$, совершаемой рабочим телом, к количеству теплоты $Q$, отобранному рабочим телом от нагревателя. Совершённая газом работа численно равна площади цикла:
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2}-V_{1}) = p_{2}V_{2} - p_{2}V_{1} - p_{1}V_{2} + p_{1}V_{1} = p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{V_{2}}{V_{1}} - \frac{p_{2}}{p_{1}} - \frac{V_{2}}{V_{1}} + 1 \right )$.
Из первого начала термодинамики следует, что в нашем случае газ поглощал тепло на левой изохоре и верхней изобаре. В изохорическом процессе газ не совершал работы, и всё поглощённое им тепло $Q_{1}$ шло на увеличение внутренней энергии газа, которую можно выразить через введённые вспомогательные значения давлений и объёмов, воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона:
$Q_{1} = \frac{3}{2} \nu R(T_{4} - T_{3}) = \frac{3}{2}(p_{2} - p_{1}) V_{1}$.
В изобарическом процессе часть полученного газом тепла уходила на увеличение внутренней энергии газа, а за счёт остатка совершалась работа:
$Q_{2} = \frac{3}{2} \nu R(T_{5} - T_{4}) + p_{2}(V_{2} - V_{1}) = \frac{5}{2} p_{2}(V_{2} - V_{1})$.
Таким образом, полное количество теплоты, полученное газом от нагревателя, равно
$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{3}{2}(p_{2} - p_{1})V_{1} + \frac{5}{2} p_{2}(V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} - 1 \right ) + \frac{5}{2} p_{2}V_{1} \left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} - 1 \right )$.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа в состояниях, соответствующих серединам изохор и изобар:
$\frac{p_{1}+p_{2}}{2} V_{1} = \nu RT_{1}, \frac{p_{1} + p_{2}}{2} V_{2} = \nu RT_{2}$,
$\frac{V_{1}+V_{2}}{2} p_{1} = \nu RT_{1}, \frac{V_{1} + V_{2}}{2} p_{2} = \nu RT_{2}$.
Деля друг на друга уравнения, записанные в каждой из строк, получим:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}, \frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
Используя эти соотношения, найдём КПД цикла:
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{V_{2}}{V_{1}} - \frac{p_{2}}{p_{1}} - \frac{V_{2}}{V_{1}} + 1 \right )}{ \frac{3}{2} p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} - 1 \right ) + \frac{5}{2} p_{2}V_{1} \left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} - 1 \right )} = \frac{ \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{2} - 2 \frac{T_{2}}{T_{1}} + 1}{ \frac{3}{2} \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1 \right ) + \frac{5}{2} \frac{T_{2}}{T_{1}} \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} -1 \right )}= \frac{ \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1}{ \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \frac{T_{2}}{T_{1}}}= \frac{2(T_{2}-T_{1})}{3T_{1}+5T_{2}}$.
Найдите КПД тепловой машины, цикл которой состоит из двух изохор и двух изобар (см. рисунок), а рабочим телом является идеальный одноатомный газ. Середины нижней изобары и левой изохоры лежат на изотерме, соответствующей температуре $T_{1}$, а середины верхней изобары и правой изохоры на изотерме, соответствующей температуре $T_{2}$.
Решение:
Введём ряд вспомогательных обозначений для объёма, давления и температуры газа (см. рис.). По определению, КПД цикла есть отношение полезной работы $A$, совершаемой рабочим телом, к количеству теплоты $Q$, отобранному рабочим телом от нагревателя. Совершённая газом работа численно равна площади цикла:
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2}-V_{1}) = p_{2}V_{2} - p_{2}V_{1} - p_{1}V_{2} + p_{1}V_{1} = p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{V_{2}}{V_{1}} - \frac{p_{2}}{p_{1}} - \frac{V_{2}}{V_{1}} + 1 \right )$.
Из первого начала термодинамики следует, что в нашем случае газ поглощал тепло на левой изохоре и верхней изобаре. В изохорическом процессе газ не совершал работы, и всё поглощённое им тепло $Q_{1}$ шло на увеличение внутренней энергии газа, которую можно выразить через введённые вспомогательные значения давлений и объёмов, воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона:
$Q_{1} = \frac{3}{2} \nu R(T_{4} - T_{3}) = \frac{3}{2}(p_{2} - p_{1}) V_{1}$.
В изобарическом процессе часть полученного газом тепла уходила на увеличение внутренней энергии газа, а за счёт остатка совершалась работа:
$Q_{2} = \frac{3}{2} \nu R(T_{5} - T_{4}) + p_{2}(V_{2} - V_{1}) = \frac{5}{2} p_{2}(V_{2} - V_{1})$.
Таким образом, полное количество теплоты, полученное газом от нагревателя, равно
$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{3}{2}(p_{2} - p_{1})V_{1} + \frac{5}{2} p_{2}(V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} - 1 \right ) + \frac{5}{2} p_{2}V_{1} \left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} - 1 \right )$.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа в состояниях, соответствующих серединам изохор и изобар:
$\frac{p_{1}+p_{2}}{2} V_{1} = \nu RT_{1}, \frac{p_{1} + p_{2}}{2} V_{2} = \nu RT_{2}$,
$\frac{V_{1}+V_{2}}{2} p_{1} = \nu RT_{1}, \frac{V_{1} + V_{2}}{2} p_{2} = \nu RT_{2}$.
Деля друг на друга уравнения, записанные в каждой из строк, получим:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}, \frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
Используя эти соотношения, найдём КПД цикла:
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{V_{2}}{V_{1}} - \frac{p_{2}}{p_{1}} - \frac{V_{2}}{V_{1}} + 1 \right )}{ \frac{3}{2} p_{1}V_{1} \left ( \frac{p_{2}}{p_{1}} - 1 \right ) + \frac{5}{2} p_{2}V_{1} \left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} - 1 \right )} = \frac{ \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{2} - 2 \frac{T_{2}}{T_{1}} + 1}{ \frac{3}{2} \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1 \right ) + \frac{5}{2} \frac{T_{2}}{T_{1}} \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} -1 \right )}= \frac{ \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1}{ \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \frac{T_{2}}{T_{1}}}= \frac{2(T_{2}-T_{1})}{3T_{1}+5T_{2}}$.
