Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11944
2019-12-05 
Тонкостенным цилиндрическим стакан, имеющий тонкое дно, закрыт невесомым тонким поршнем. Между поршнем и дном в стакане вставлена пружина. Внутри стакана находится воздух при атмосферном давлении $p_{0}$. Стакан плавает в воде, как показано на рисунке, а, расстояние от поверхности воды до поршня равно $l_{1}$, глубина погружения стакана равна $l_{2}$. Площадь поршня $S$, жесткость пружины $k$, плотность воды $\rho$. На какую максимальную глубину можно погрузить стакан под воду, чтобы он еще мог всплыть? Объемом пружины пренебречь.
Решение:
В начальный момент стакан плавает на поверхности воды. Это означает, что действующая на него сила тяжести уравновешивается выталкивающей архимедовой силой:
$mg = \rho gl_{2}S$.
При погружении стакана сначала выталкивающая сила будет увеличиваться. Но когда поршень достигнет уровня воды, сила давления воды начнет перемещать поршень вниз к дну стакана. При этом объем стакана, а значит, и выталкивающая сила будут уменьшаться. Очевидно, что максимальная глубина погружения стакана - это такая глубина, на которой выталкивающая сила, как и в начальный момент равна силе тяжести, действующей на стакан:
$mg = \rho gxS$.
Здесь $x$ - высота поршня от дна стакана (рис. б). Причем, из (1) и (2)
$x= l_{2}$.
С другой стороны, величина $x$ связана с глубиной погружения стакана $h$. Запишем условие равновесия поршня. На него сверху действуют сила атмосферного давления $p_{0} S$ и сила гидростатического давления $\rho g(h - x)S$, а снизу - сила упругости пружины $k \Delta x = k(l_{2} + l_{2} - x)$ и сила давления воздуха в стакане $pS$. Естественно считать, что температура воздуха под поршнем не меняется (она равна температуре воды), поэтому из закона Бойля - Мариотта
$p_{0}(l_{1} + l_{2} ) = px$,
откуда
$p = p_{0} \frac{l_{1} + l_{2} }{x}$.
Таким образом, можно записать
$p_{0}S + \rho g (h - x) S = k(l_{1} + l_{2} - x ) + \frac{p_{0}(l_{1} + l_{2} )S }{x}$.
Подставляя сюда $x = l_{2}$, получим:
$p_{0}S + \rho g (h - l_{2}) S = kk_{1} + \rho_{0} S \left ( \frac{l_{1} }{l_{2} } + 1 \right )$,
откуда
$h = \frac{p_{0}Sl_{1} + kl_{1}l_{2} + \rho g l_{2}^{2}S }{ \rho g Sl_{2} }$.
Тонкостенным цилиндрическим стакан, имеющий тонкое дно, закрыт невесомым тонким поршнем. Между поршнем и дном в стакане вставлена пружина. Внутри стакана находится воздух при атмосферном давлении $p_{0}$. Стакан плавает в воде, как показано на рисунке, а, расстояние от поверхности воды до поршня равно $l_{1}$, глубина погружения стакана равна $l_{2}$. Площадь поршня $S$, жесткость пружины $k$, плотность воды $\rho$. На какую максимальную глубину можно погрузить стакан под воду, чтобы он еще мог всплыть? Объемом пружины пренебречь.
Решение:
В начальный момент стакан плавает на поверхности воды. Это означает, что действующая на него сила тяжести уравновешивается выталкивающей архимедовой силой:
$mg = \rho gl_{2}S$.
При погружении стакана сначала выталкивающая сила будет увеличиваться. Но когда поршень достигнет уровня воды, сила давления воды начнет перемещать поршень вниз к дну стакана. При этом объем стакана, а значит, и выталкивающая сила будут уменьшаться. Очевидно, что максимальная глубина погружения стакана - это такая глубина, на которой выталкивающая сила, как и в начальный момент равна силе тяжести, действующей на стакан:
$mg = \rho gxS$.
Здесь $x$ - высота поршня от дна стакана (рис. б). Причем, из (1) и (2)
$x= l_{2}$.
С другой стороны, величина $x$ связана с глубиной погружения стакана $h$. Запишем условие равновесия поршня. На него сверху действуют сила атмосферного давления $p_{0} S$ и сила гидростатического давления $\rho g(h - x)S$, а снизу - сила упругости пружины $k \Delta x = k(l_{2} + l_{2} - x)$ и сила давления воздуха в стакане $pS$. Естественно считать, что температура воздуха под поршнем не меняется (она равна температуре воды), поэтому из закона Бойля - Мариотта
$p_{0}(l_{1} + l_{2} ) = px$,
откуда
$p = p_{0} \frac{l_{1} + l_{2} }{x}$.
Таким образом, можно записать
$p_{0}S + \rho g (h - x) S = k(l_{1} + l_{2} - x ) + \frac{p_{0}(l_{1} + l_{2} )S }{x}$.
Подставляя сюда $x = l_{2}$, получим:
$p_{0}S + \rho g (h - l_{2}) S = kk_{1} + \rho_{0} S \left ( \frac{l_{1} }{l_{2} } + 1 \right )$,
откуда
$h = \frac{p_{0}Sl_{1} + kl_{1}l_{2} + \rho g l_{2}^{2}S }{ \rho g Sl_{2} }$.
